Формули за съкратено умножение - $(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)=a^3\pm b^3$ 7 клас

Продължаваме със следващата и последна от формулите за съкратено умножение, които се изучават в 7 клас, а именно формулата \((a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)=a^3\pm b^3\). Ще разгледаме някои задачи, с които ще покажем приложенията на тази формула.

1 Задача: Извършете умножението \((3-x)(9+3x+x^2).\)

Решение: Забелязваме, че даденият израз може да се запише като \((3-x)(3^2+3x+x^2).\) Прилагаме формулата \[ (a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3, \] като заменяме \(a=3\) и \(b=x\), получаваме: \[ (3-x)(3^2+3x+x^2)=3^3-x^3. \]

2 Задача: Извършете умножението \((3t+2)(9t^2-6t+4).\)

Решение: Даденият израз може да се запише като \[ (3t+2)\Big[(3t)^2-3t\cdot2+2^2\Big]. \] Прилагаме формулата \[ (a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3, \] с \(a=3t\) и \(b=2\). Следователно: \[ (3t+2)(9t^2-6t+4)=(3t)^3+2^3=27t^3+8. \]

3 Задача: Опростете израза \((x-2)(x^2+2x+4)-x(x-2)(x+2)-4(x-2).\)

Решение: Прилагаме първо формулата \[ (a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3, \] с \(a=x\) и \(b=2\): \[ (x-2)(x^2+2x+4)=x^3-2^3=x^3-8. \] Също използваме \[ (a-b)(a+b)=a^2-b^2, \] за изчисляване на \[ x(x-2)(x+2)=x\big(x^2-4\big)=x^3-4x. \] И накрая изваждаме: \[ (x^3-8)-\big(x^3-4x\big)-4(x-2)=x^3-8-x^3+4x-4x+8=0. \]

4 Задача: Опростете израза и намерете числената му стойност \((2y-3)(4y^2+6y+9)+(y+3)(y^2-3y+9),\) при \(y=2\).

Решение: Използваме формулата \[ (a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)=a^3\pm b^3. \] За първия множител избираме \(a=2y\) и \(b=3\): \[ (2y-3)(4y^2+6y+9)=(2y)^3-3^3=8y^3-27. \] За втория множител с \(a=y\) и \(b=3\): \[ (y+3)(y^2-3y+9)=y^3+3^3=y^3+27. \] Сумираме: \[ 8y^3-27+y^3+27=9y^3. \] При \(y=2\): \[ 9\cdot2^3=9\cdot8=72. \]

5 Задача: Намерете неизвестното число \(x\) в равенството \((x+4)(x^2-4x+16)-x(x-2)(x+2)=8.\)

Решение: Прилагаме формулата \[ (a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3, \] с \(a=x\) и \(b=4\): \[ (x+4)(x^2-4x+16)=x^3+4^3=x^3+64. \] Също така, \[ x(x-2)(x+2)=x\big(x^2-4\big)=x^3-4x. \] Равенството става: \[ x^3+64-\big(x^3-4x\big)=64+4x=8. \] Оттук: \[ 4x=8-64=-56,\quad x=-14. \]

6 Задача: Намерете числената стойност на израза \((x+2)(x^2-2x+4)-(2x+1)(2x-1)-9,\) ако \(x=-2.\)

Решение: Прилагаме формулата \[ (a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3, \] т.е. \[ (x+2)(x^2-2x+4)=x^3+2^3=x^3+8. \] Освен това, \[ (2x+1)(2x-1)= (2x)^2-1^2=4x^2-1. \] Така изразът става: \[ x^3+8-\big(4x^2-1\big)-9=x^3+8-4x^2+1-9=x^3-4x^2. \] При \(x=-2\): \[ (-2)^3-4(-2)^2=-8-16=-24. \]

7 Задача: Докажете, че стойността на израза \((2x-1)(4x^2+2x+1)-8x(x+2)(x-2)-32x+4\) не зависи от стойността на \(x\).

Решение: Прилагаме формулата \[ (a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3, \] с \(a=2x\) и \(b=1\): \[ (2x-1)(4x^2+2x+1)=(2x)^3-1^3=8x^3-1. \] Забелязваме, че \[ (x+2)(x-2)=x^2-4. \] След това изразът става: \[ 8x^3-1-8x\big(x^2-4\big)-32x+4. \] Разгръщаме: \[ = 8x^3-1-8x^3+32x-32x+4=3. \] Така независимо от \(x\) изразът е равен на 3.

8 Задача: Докажете тъждеството \((x-1)(x^2+x+1)-(x-1)^3=3x(x-1).\)

Решение: Разграждаме лявата страна:
\((x-1)(x^2+x+1)=x^3-1\) (по тъждеството за куб на двучлен), а \((x-1)^3 = x^3-3x^2+3x-1.\)
Изваждаме: \[ (x-1)(x^2+x+1)-(x-1)^3 = \big(x^3-1\big)-\big(x^3-3x^2+3x-1\big)=3x^2-3x. \] Дясната страна: \[ 3x(x-1)=3x^2-3x. \] Следователно равенството е доказано.

Задачи за самостоятелна работа

1. Извършете умножението:
а) \((x-y)(x^2+xy+y^2);\)
б) \((y^2-7)(y^4+7y^2+49);\)
в) \(\left(\frac{1}{2}a+b\right)\left(\frac{1}{4}a^2-\frac{1}{2}ab+b^2\right);\)
г) \(\left(\frac{1}{3}-2a\right)\left(\frac{1}{9}+\frac{2}{3}a+4a^2\right).\)

2. Докажете тъждеството:
а) \((y-1)^3-(y+2)(y^2-2y+4)=3(-y^2+y-3);\)
б) \(x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y).\)

3. Опростете израза:
а) \((3x-4)(9x^2+12x+16)-(3x-2)^3-2x(x+4);\)
б) \((x-3)^2-(x-3)(x^2+3x+9).\)

4. Намерете числената стойност на израза:
а) \(3(x-1)^2+(x+2)(x^2-2x+4)-(x+1)^3\) при \(x=\frac{1}{27};\)
б) \(-\big(b-1\big)(b^2+b+1)+b(b+3)(b-3)\) при \(b=\left(-\frac{1}{9}\right)^2.\)

5. Даден е изразът \(A=(x-m)^3-(x-m)(x^2+xm+m^2)-3mx(m+3)\), където \(m\) е параметър.
а) Приведете израза в нормален вид.
б) За коя стойност на \(m\) коефициентът на члена от втора степен е 18?

6. Даден е изразът \(8+3(2y^2-y)-(y-3)(y^2+3y+9)+(y-2)^3:\)
а) Намерете нормалния вид на дадения израз;
б) Намерете числената стойност на израза за \(y=-3.\)

7. Даден е изразът \(a-(a-b^2)(a^2+b^4+ab^2)+(a-b^3)(a+b^3):\)
а) Намерете нормалния вид на дадения израз;
б) Намерете числената стойност на израза за \(a=-2.\)

8. Дадено е, че \(\frac{a+b}{a^3+b^3}=\frac{1}{6}\) и \(a^2+b^2=10\). Намерете на колко е равно \(ab.\)

9. Ако имаме, че \[ \frac{4(x^3-y^3)}{x^2+xy+y^2}+\frac{1}{2}\left(\frac{x^2-y^2}{x+y}\right)=35, \] то на колко ще бъде равно \(x-y\)?

10. Пресметнете по рационален начин израза \[ \frac{68^2-68\cdot32+32^2}{68^3+32^3}. \]

11. Докажете, че стойността на израза \[ (-2y-1)^2-y(7y+1)-(y-1)^3+(y^2+y+1)(y-1) \] не зависи от стойностите на променливата \(y\).

12. Покажете, че независимо от стойността на променливата \(z\) изразът \[ (z^2-2z+4)(z^2+2z+4)(z+2)(z-2)-(-64+z^6) \] е тъждествено равен на 0.

Видео уроци

За да проверите знанията си върху темата "Едночлен, действия с едночлени" може да направите теста, който ще намерите в следния линк:

https://docs.google.com/forms/d/1z1cNj0UQN2onOU3cWPDA7mmWBTjGSni0dgjGIQxymMg/

Използвана литература:

1. Сборник за 7 клас, Пенка Рангелова, Константин Бекриев, Лилия Дилкина, Нина Иванова, изд. Коала Прес, Пловдив, 2020
2. Тест Математика 7 клас, Донка Гълъбова, Адриана Хаджийска, Анна Аначкова и др., изд. Веди, София, 2020
3. Сборник задачи по математика за 7 клас, Мария Лилкова, Пенка Нинова, Таня Стоева и др., изд. Просвета, София
4. Книга за ученика за 7 клас, Здравка Паскалева, Мая Алашка, Райна Алашка, изд. Архимед, София, 2018
5. Текуща подготовка по математика за националното външно оценяване в 7 клас, Боянка Савова, Мария Тодорова, Веселин Златилов, изд. Просвета, София, 2020
6. Нови пробни изпити за външно оценяване и кандидатстване след 7 клас, изд. Регалия 6, София, 2015
7. Тестове по математика, Любомир Любенов, Цеца Байчева, изд. DOMINO, 2017
8. Нови тематични и общи тестове по математика за 7 клас, Марина Рангелова, изд. Коала Прес, 2008
9. Учебно помагало за задължително избираема подготовка по математика за 7 клас, Иван Тонов, Таня Тонова, изд. Просвета, София, 2011
10. Тестове по математика за 7 клас, Лилия Дилкина, Константин Бекриев, изд. Коала Прес, Пловдив, 2014
11. Сборник контролни работи и тестове по математика 7 клас, Пенка Рангелова, изд. Коала Прес, Пловдив, 2009
12. Сп. Математика

13. Сп. Математика +