Формули за съкратено умножение - $(a\pm b)^3=a^3\pm 3a^2b+3ab^2\pm b^3$ 7 клас

Продължаваме със следващата от формулите за съкратено умножение \((a\pm b)^3=a^3\pm 3a^2b+3ab^2\pm b^3\). Да разгледаме някои задачи, с които ще илюстрираме приложенията на тази формула.

1 Задача: Извършете степенуването \((x+2)^3\).

Решение: За решаването на тази задача прилагаме формулата \[ (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3. \] Тъй като тук \(a=x\) и \(b=2\), получаваме: \[ (x+2)^3=x^3+3x^2\cdot2+3x\cdot2^2+2^3=x^3+6x^2+12x+8. \]

2 Задача: Извършете степенуването \((2m-3n)^3\).

Решение: Използваме формулата за разлика на кубове: \[ (a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3. \] Тук поставяме \(a=2m\) и \(b=3n\). Следователно: \[ (2m-3n)^3=(2m)^3-3(2m)^2(3n)+3(2m)(3n)^2-(3n)^3. \] Изчисляваме стъпка по стъпка: \[ (2m)^3=8m^3,\quad 3(2m)^2(3n)=36m^2n,\quad 3(2m)(3n)^2=54mn^2,\quad (3n)^3=27n^3. \] Така: \[ (2m-3n)^3=8m^3-36m^2n+54mn^2-27n^3. \]

3 Задача: Извършете степенуването \((3t+z^2)^3\).

Решение: Прилагаме формулата за куб на двучлен: \[ (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3. \] Тук \(a=3t\) и \(b=z^2\). Следователно: \[ (3t+z^2)^3=(3t)^3+3(3t)^2z^2+3(3t)(z^2)^2+(z^2)^3. \] Където: \[ (3t)^3=27t^3,\quad 3(3t)^2z^2=3\cdot9t^2\cdot z^2=27t^2z^2, \] \[ 3(3t)(z^2)^2=9tz^4,\quad (z^2)^3=z^6. \] Така получаваме: \[ (3t+z^2)^3=27t^3+27t^2z^2+9tz^4+z^6. \]

4 Задача: Опростете израза \((x+1)^3-2(x-1)^2\).

Решение: В този израз участват две формули:
\((a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\) и \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\).
Замествайки \(a=x\) и \(b=1\) в първата формула, имаме: \[ (x+1)^3=x^3+3x^2+3x+1. \] За втората формула: \[ (x-1)^2=x^2-2x+1. \] Така: \[ (x+1)^3-2(x-1)^2=x^3+3x^2+3x+1-2(x^2-2x+1). \] Изчисляваме: \[ = x^3+3x^2+3x+1-2x^2+4x-2 = x^3+x^2+7x-1. \]

5 Задача: Опростете израза \((3x+2)^3-3x(3x+1)(3x-1)-(3x+2)(x+4)\).

Решение: Първо изчисляваме \((3x+2)^3\) по формулата \[ (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3, \] където \(a=3x\) и \(b=2\): \[ (3x+2)^3=(3x)^3+3(3x)^2\cdot2+3(3x)\cdot2^2+2^3=27x^3+54x^2+36x+8. \] След това изчисляваме \((3x+1)(3x-1)\) като използваме \[ (a-b)(a+b)=a^2-b^2, \] с \(a=3x\) и \(b=1\): \[ (3x+1)(3x-1)=9x^2-1. \] Умножете това по \(3x\): \[ 3x(9x^2-1)=27x^3-3x. \] Сега, извършваме умножението \((3x+2)(x+4)\): \[ (3x+2)(x+4)=3x^2+12x+2x+8=3x^2+14x+8. \] Изваждаме второто и третото произведение от първото: \[ (3x+2)^3-3x(3x+1)(3x-1)-(3x+2)(x+4)= (27x^3+54x^2+36x+8) - (27x^3-3x) - (3x^2+14x+8). \] Групираме подобните членове и получаваме: \[ 27x^3-27x^3 + (54x^2-3x^2) + (36x+3x-14x) + (8-8)=51x^2+25x. \]

6 Задача: Извършете означените действия \((a-1)^3-(a+1)^3-(a+1)(a-1).\)

Решение: Използваме формулата за куб на двучлен: \[ (a\pm1)^3=a^3\pm3a^2+3a\pm1. \] Така: \[ (a-1)^3 = a^3-3a^2+3a-1,\quad (a+1)^3 = a^3+3a^2+3a+1. \] Разликата е: \[ (a-1)^3-(a+1)^3 = (a^3-3a^2+3a-1) - (a^3+3a^2+3a+1) = -6a^2-2. \] Също знаем, че: \[ (a+1)(a-1)=a^2-1. \] Така полученият израз става: \[ -6a^2-2 - (a^2-1) = -7a^2-1. \]

7 Задача: Представете четиричлена като куб на двучлен \(x^3-12x^2+48x-64\).

Решение: Забелязваме, че:
\(x^3-12x^2+48x-64\) може да се запише във вида \[ x^3-3\cdot x^2\cdot4+3\cdot x\cdot4^2-4^3. \] Прилагайки формулата \[ (a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3, \] със \(a=x\) и \(b=4\), получаваме: \[ (x-4)^3=x^3-12x^2+48x-64. \]

8 Задача: Определете стойността на израза \((x+1)^3-(x-1)(x+1)-x(x+1)^2\), при \(x=\frac{1}{2}\).

Решение: Първо прилагаме:
\((x+1)^3=x^3+3x^2+3x+1,\)
\((x-1)(x+1)=x^2-1,\)
\((x+1)^2=x^2+2x+1.\)
Следователно изразът става: \[ x^3+3x^2+3x+1 - (x^2-1) - x(x^2+2x+1). \] Разгръщаме: \[ = x^3+3x^2+3x+1 -x^2+1 - x^3-2x^2-x. \] Групирайки подобните членове: \[ (x^3-x^3)+(3x^2-x^2-2x^2)+(3x-x)+ (1+1)= 0x^3+0x^2+2x+2=2x+2. \] При \(x=\frac{1}{2}\): \[ 2\cdot\frac{1}{2}+2= 1+2=3. \]

9 Задача: Опростете израза \((a+b)(b-a)+a(a-4c)\) и намерете числената му стойност при \(a=2\), \(b=-5\) и \(c=3\).

Решение: Първо забелязваме, че: \[ (a+b)(b-a) = -\,(a+b)(a-b) = -(a^2-b^2). \] След това: \[ (a+b)(b-a)+a(a-4c)= -\,(a^2-b^2)+ a^2-4ac = b^2-4ac. \] Замествайки \(a=2\), \(b=-5\) и \(c=3\): \[ (-5)^2-4\cdot2\cdot3=25-24=1. \]

10 Задача: Намерете числената стойност на израза \((2x-3)^2-(x-2)(x+2)-(x-1)(3x-2)\), ако \(x=\frac{1}{3}\).

Решение: Първо намираме:
\((2x-3)^2=4x^2-12x+9,\)
\((x-2)(x+2)=x^2-4,\)
\((x-1)(3x-2)=3x^2-5x+2.\)
След това: \[ (2x-3)^2-(x-2)(x+2)-(x-1)(3x-2)= (4x^2-12x+9) - (x^2-4) - (3x^2-5x+2). \] Разгрупирайки: \[ = (4x^2-x^2-3x^2)+(-12x+5x)+(9+4-2)= 0x^2 - 7x+11. \] При \(x=\frac{1}{3}\): \[ -7\cdot\frac{1}{3}+11=-\frac{7}{3}+11=\frac{-7+33}{3}=\frac{26}{3}. \]

Задачи за самостоятелна работа

1. Извършете степенуването:
а) \((2x+1)^3;\) б) \((2m-2n)^3;\) в) \(\left(\frac{1}{3}a+\frac{1}{3}b\right)^3;\) г) \((3-y^2)^3;\) д) \((a-b+c)^3.\)

2. Опростете израза:
а) \((2x+5)^3-2x(2x-3)^2-5(2x+25);\) б) \((y+2)^3+(2y+x-3)-(-x+3)^2+(-y-2)^3;\) в) \(t(t-3)^2-(t-1)^3.\)

3. Докажете, че стойността на израза \((x+2)^3-6(x+1)(x-1)-3(4x+1)-x^3\) не зависи от \(x\).

4. Намерете числената стойност на израза:
а) \((2x+1)^3-8x(x+1)(x-1)-6x(2x-3)\), при \(x=\left(-\frac{1}{2}\right)^5;\) б) \(x(x-2)-(x-2)^3\) при \(x=-1;\) в) \(6t^2+(t-2)^3-t^3\) при \(t=\frac{2}{3};\) г) \(b(b-1)(1+b)+(-b-1)^3+b\) за \(b=-\frac{1}{3};\) д) \(z(z-1)(1+z)+(-z-1)^3\) при \(z=(-1)^{303}\).

5. За коя стойност на параметъра \(c\) коефициентът пред \(x^2\) в нормалния вид на многочлена, равен на израза \[ A=(c-2x)^3-x(x-c), \] е равен на 22.

6. За коя стойност на променливата числената стойност на израза:
а) \((4-y)y(4+y)+(y-2)^3+6y^2\) е равна на 20; б) \(x(x-1)^2-(x-1)^3-x^2\) е равна на -3.

7. Намерете най-малката стойност на израза \((2+x)^3-3x\left(\frac{x^2}{3}+4\right)+(3-x)(3+x).\)

8. Намерете най-голямата стойност на израза \((y-3)^3-3y\left(9+\frac{y^2}{3}\right)-(y+6)(y-6).\)

9. Да се намери нормалният многочлен, тъждествен на израза:
а) \((a^2-3)^3-(a-2)(a^2+4)(a+2)-a^4(a^2-10);\)
б) \((2a-3b)^3-(a+2b)^3+7a^2(6b-a);\)
в) \((2a-3)^3-(2-3a)^3-35a^3+90a^2;\)
г) \(\left(\frac{1}{2}x+2y\right)^3-\left(2x-\frac{1}{2}y\right)^3+7\frac{7}{8}x^3-7\frac{1}{2}x^2y;\)
д) \(x^3+3x^2(x-2)+3x(x-2)^2+(x-2)^3;\)
е) \((a-b)^3+3(a-b)^2(b-c)+3(a-b)(b-c)^2+(b-c)^3;\)
ж) \((2x-m)^3-3(2x-m)^2(y-m)+3(2x-m)(y-m)^2-(y-m)^3.\)

10. Вярно ли е, че при всяко \(x\) от израза \[ C=(5-x)^2-(x-3)(x+3)+5(2x-5) \] се получава \(C>0\)?

Тест: Формули за куб на двучлен и свързани операции

1. След като умножим многочлените \((4x-3y)^3\) се получава:

\(64x^3 - 48x^2y + 36xy^2 - 27y^3\) \(64x^3 - 144x^2y + 108xy^2 + 27y^3\) \(64x^3 - 144x^2y + 108xy^2 - 27y^3\) \(64x^3 + 144x^2y - 108xy^2 - 27y^3\)

2. След като опростим израза \((x+1)^3-3(x-1)^2\) се получава:

\(x^3+9x-2\) \(x^3+9x+2\) \(x^3-9x-2\) \(x^3-9x+2\)

3. Кой от изброените по-долу изрази е тъждествено равен на $(2x^3+3y^3)^3 - (2x^3+3y^3)(2x^3-3y^3) - 12x^3y^3(2x+3y)$?

\(12x^3y^3\) \(36x^3y^3\) \(24x^3y^3\) \(48x^3y^3\)

4. Като приложите формулата за куб на двучлен пресметнете на колко е равно \(97^3\)

\(912600\) \(912700\) \(912664\) \(912673\)

5. На колко е равен сбора от коефициентите \(a\) и \(b\), ако \((4x+1)^3=ax^3+48x^2+12x+b\)?

\(65\) \(64\) \(66\) \(63\)

6. На колко е равна стойността на израза \((x-3)^3-x(x^2-6x+11)\) при \(x=4\)?

\(-11\) \(11\) \(-10\) \(-12\)

7. На колко е равно неизвестното \(x\) в равенството \((x+3)^3-x^3-9x^2=0\)?

\(x=-1\) \(x=1\) \(x=-3\) \(x=3\)

8. За кой от изброените изрази е вярно, че той не зависи от стойността на променливата?

(Изберете този, който след опростяване се свежда до константа)

$\bigl[(b+2)^3-(b+2)(b-2)-b(b^2+4)+6\bigr]$ \(\bigl[(b+1)^3-(b-1)(b+1)-b(b^2+2b+1)\bigr]\) \(\bigl[(b+1)^3-(b-1)(b+1)-b(b^2+2b+2)\bigr]\) \(\bigl[(b+1)^3-(b+1)(b-1)-b(b^2+2b+3)\bigr]\)

9. След като приведете в нормален вид произведението \(\left(3x^k-2y^l\right)^3\) се получава:

\(27x^{3k} - 18x^{2k}y^l + 12x^ky^{2l} - 8y^{3l}\) \(27x^{3k} - 54x^{2k}y^l + 36x^ky^{2l} - 8y^{3l}\) \(27x^{3k} + 54x^{2k}y^l + 36x^ky^{2l} + 8y^{3l}\) \(27x^{3k} - 54x^{2k}y^l - 36x^ky^{2l} - 8y^{3l}\)

10. Кой от изброените по-долу изрази е тъждествено равен на \(\left(2a+\frac{1}{2}b\right)^3-\left(8a^3+\frac{1}{8}b^3\right)\)?

\(3ab\Bigl(2a+\frac{1}{2}b\Bigr)\) \(3ab\Bigl(2a-\frac{1}{2}b\Bigr)\) \(3ab\Bigl(2a+\frac{3}{2}b\Bigr)\) \(3ab\Bigl(a+\frac{1}{2}b\Bigr)\)

11. След като опростим израза \((-2x+3y)^3-(x-y)^2+(2x-3y)^3\) се получава:

\((x-y)^2\) \(- (x-y)^2+(2x-3y)^3\) \(- (x-y)^2\) \(- (2x-3y)^3\)

12. Кой е нормалния многочлен тъждествено равен на израза $(3x+2)^3 - (4x-2)(4x+2) - 3x(3x+2)^2$?

\(2x^2+24x+6\) \(2x^2+12x+12\) \(x^2+24x+12\) \(2x^2+24x+12\)

13. Като използвате формулата за куб на двучлен, пресметнете числовия израз \(\;107^3 - 3\cdot107^2 + 3\cdot107 - 1\)

\(1191010\) \(1191012\) \(1191016\) \(1191020\)

14. Степента и свободният член на многочлена \((3x^2+2x+5)^3\) са:

Степен: 6, свободен член: 5 Степен: 6, свободен член: 125 Степен: 3, свободен член: 125 Степен: 6, свободен член: 15

15. На колко е равна стойността на израза $\left(x^2+\frac{1}{3}a^2\right)^3 - \frac{1}{3}a^2x^2\left(3x^2+a^2\right)$ при \(a=3\) и \(x=6\)?

46680 46682 46683 46684

Видео уроци

За да проверите знанията си върху темата "Едночлен, действия с едночлени" може да направите теста, който ще намерите в следния линк:

https://docs.google.com/forms/d/1z1cNj0UQN2onOU3cWPDA7mmWBTjGSni0dgjGIQxymMg/

Използвана литература:

1. Сборник за 7 клас, Пенка Рангелова, Константин Бекриев, Лилия Дилкина, Нина Иванова, изд. Коала Прес, Пловдив, 2020
2. Тест Математика 7 клас, Донка Гълъбова, Адриана Хаджийска, Анна Аначкова и др., изд. Веди, София, 2020
3. Сборник задачи по математика за 7 клас, Мария Лилкова, Пенка Нинова, Таня Стоева и др., изд. Просвета, София
4. Книга за ученика за 7 клас, Здравка Паскалева, Мая Алашка, Райна Алашка, изд. Архимед, София, 2018
5. Текуща подготовка по математика за националното външно оценяване в 7 клас, Боянка Савова, Мария Тодорова, Веселин Златилов, изд. Просвета, София, 2020
6. Нови пробни изпити за външно оценяване и кандидатстване след 7 клас, изд. Регалия 6, София, 2015
7. Тестове по математика, Любомир Любенов, Цеца Байчева, изд. DOMINO, 2017
8. Нови тематични и общи тестове по математика за 7 клас, Марина Рангелова, изд. Коала Прес, 2008
9. Учебно помагало за задължително избираема подготовка по математика за 7 клас, Иван Тонов, Таня Тонова, изд. Просвета, София, 2011
10. Тестове по математика за 7 клас, Лилия Дилкина, Константин Бекриев, изд. Коала Прес, Пловдив, 2014
11. Сборник контролни работи и тестове по математика 7 клас, Пенка Рангелова, изд. Коала Прес, Пловдив, 2009
12. Сп. Математика

13. Сп. Математика +