Формули за съкратено умножение - $(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$ 7 клас

В началото на учебната година всеки седмокласник се сблъсква с формулите за съкратено умножение. С настоящия урок, както и със следващите ще се опитаме заедно да преодолеем трудностите в решаването на различни задачи, в които се прилагат тези формули. Нека първо ги припомним:

1. $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$;
2. $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$;
3. $(a \pm b)^3 = a^3 \pm 3a^2b + 3ab^2 \pm b^3$;
4. $(a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2) = a^3 \pm b^3$.

В тази статия ще разгледаме формулата \[ (a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2. \] Да решим някои задачи, с които да покажем как се прилага тя.

1 Задача: Извършете степенуването $(2x+y)^2$.

Решение: Нека разгледаме формулата \[ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2. \] В нашия израз ролята на \(a\) играе \(2x\), а на \(b\) – \(y\). Заместваме: \[ (2x+y)^2 = (2x)^2 + 2\cdot(2x)\cdot y + y^2. \] Тъй като \((2x)^2 = 4x^2\), получаваме: \[ (2x+y)^2 = 4x^2 + 4xy + y^2. \]

2 Задача: Извършете степенуването \((3n+4m)^2\).

Решение: Прилагаме формулата \[ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2, \] като в този случай \(a=3n\) и \(b=4m\). Следователно: \[ (3n+4m)^2 = 9n^2 + 24nm + 16m^2. \]

3 Задача: Извършете степенуването \((9k-3x)^2\).

Решение: Прилагаме формулата \[ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2, \] в която \(a=9k\) и \(b=3x\). Така: \[ (9k-3x)^2 = 81k^2 - 54kx + 9x^2. \]

4 Задача: Извършете степенуването \( (-5+3x)^2 \).

Решение: Първо, прилагаме разместителното свойство за едночлените в скобите: \[ (-5+3x)^2 = (3x-5)^2. \] След това прилагаме формулата \[ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2, \] като \(a=3x\) и \(b=5\), получаваме: \[ (3x-5)^2 = 9x^2 - 30x + 25. \]

5 Задача: Извършете степенуването \((x+y+z)^2\).

Решение: Групираме събираемите като \(a=x+y\) и \(b=z\) (може също да изберем $a=x$, а $b=y+z$ например): \[ (x+y+z)^2 = (x+y)^2 + 2(x+y)z + z^2. \] Тъй като \[ (x+y)^2 = x^2+2xy+y^2, \] получаваме: \[ (x+y+z)^2 = x^2+2xy+y^2+2xz+2yz+z^2. \] или: \[ (x+y+z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2xz + 2yz. \]

6 Задача: Опростете израза \( x^2+64-(x-8)^2 \).

Решение: Забелязваме, че \[ (x-8)^2 = x^2 - 16x + 64. \] Затова: \[ x^2 + 64 - (x-8)^2 = x^2 + 64 - (x^2-16x+64)=x^2+64-x^2+16x-64 = 16x. \]

7 Задача: Извършете означените действия и приведете в нормален вид израза \((a-b-3)^2+(a-b)^2\).

Решение: Пресмятаме:
\[ (a-b-3)^2 = (a-b)^2 - 6(a-b) + 9. \] Следователно: \[ (a-b-3)^2+(a-b)^2 = 2(a-b)^2 - 6(a-b) + 9. \] Като заместим \((a-b)^2 = a^2-2ab+b^2\), получаваме: \[ 2a^2 + 2b^2 - 4ab - 6a + 6b + 9. \]

8 Задача: Извършете означените действия и приведете в нормален вид израза \((3-x)^2-(4x+1)^2\).

Решение: Пресмятаме:
\[ (3-x)^2 = 9 - 6x + x^2, \] а \[ (4x+1)^2 = 16x^2 + 8x + 1. \] След това: \[ (3-x)^2-(4x+1)^2 = 9 - 6x + x^2 - 16x^2 - 8x - 1 = -15x^2 -14x + 8. \]

9 Задача: Намерете числената стойност на израза \((x+1)(y-2)-(x-y-2)^2\), при \(x=-|-5+4|\) и \(y=-(-5+4)^2\).

Решение: Първо опростяваме:
\[ (x+1)(y-2) = xy - 2x + y - 2, \] а \[ (x-y-2)^2 = (x-y)^2 - 4(x-y) + 4. \] Така: \[ (x+1)(y-2)-(x-y-2)^2 = xy - 2x + y - 2 - \big[x^2 - 2xy + y^2 - 4x + 4y -4\big]. \] След опростяването получаваме: \[ = -x^2 - y^2 + 3xy + 2x - 3y - 6. \] Заместваме: \[ x=-|-5+4|=-1 \quad \text{и} \quad y=-(-5+4)^2=-1. \] Получаваме: \[ -1 - 1 + 3 - 2 + 3 - 6 = -4. \]

10 Задача: Като използвате формулите за съкратено умножение пресметнете рационално \[ 13,4^2 + 2\cdot13,4\cdot6,6 + 6,6^2. \]

Решение: Прилагаме формулата \[ (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2, \] с \(a=13,4\) и \(b=6,6\): \[ 13,4^2+2\cdot13,4\cdot6,6+6,6^2 = (13,4+6,6)^2 = 20^2 = 400. \]

11 Задача: Като използвате формулите за съкратено умножение пресметнете рационално \[ 36^2 - 2\cdot36\cdot6 + 6^2. \]

Решение: Използваме: \[ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2, \] като \(a=36\) и \(b=6\): \[ 36^2 - 2\cdot36\cdot6 + 6^2 = (36-6)^2 = 30^2 = 900. \]

12 Задача: Като използвате формулите за съкратено умножение пресметнете рационално \(59^2\).

Решение: Представяме \(59\) като \(60-1\): \[ 59^2 = (60-1)^2 = 3600-120+1 = 3481. \]

13 Задача: Докажете тъждеството \[ (x+y)^2+(x-y)^2 = 2(x^2+y^2). \]

Решение: Опростяваме лявата страна на равенството: \[ (x+y)^2+(x-y)^2 = (x^2+2xy+y^2)+(x^2-2xy+y^2)= 2x^2+2y^2. \] Сега опростяваме и дясната страна на равенството: \[ 2(x^2+y^2)= 2x^2+2y^2. \] Следователно, ЛС = ДС.

14 Задача: Да се намери нормалният многочлен, тъждествен на израза:
а) \( (a^2+1)^2+(a-1)(a^2+1)-a^2 \);
б) \( 3(a^2+1)^2+2(a-1)(a^2+1)-5(a-1)^2-4(0,75a^4+3a-1) \).

Решение (а): Първо разкриваме скобите: \[ (a^2+1)^2 = a^4+2a^2+1, \] \[ (a-1)(a^2+1) = a^3+a - a^2-1. \] Тогава сборът е: \[ a^4+2a^2+1 + a^3+a -a^2-1 - a^2 = a^4+a^3+a. \] Следователно нормалният многочлен е: \[ a^4+a^3+a. \]

Решение (б): Първо намираме отделно всяка част:
\(3(a^2+1)^2 = 3\big(a^4+2a^2+1\big)= 3a^4+6a^2+3,\)
\(2(a-1)(a^2+1)= 2\big(a^3+a-a^2-1\big)= 2a^3+2a-2a^2-2,\)
\((a-1)^2 = a^2-2a+1,\) следователно \(-5(a-1)^2 = -5a^2+10a-5,\)
\(4(0,75a^4+3a-1)= 3a^4+12a-4,\) което дава \(-4(0,75a^4+3a-1)= -3a^4-12a+4.\)

Събираме всичко:
\(3a^4+6a^2+3 + 2a^3+2a-2a^2-2 - 5a^2+10a-5 -3a^4-12a+4.\)
Групираме по степените на $a$:
\(\;a^4: \;3a^4-3a^4=0,\)
\(\;a^3: \;2a^3,\)
\(\;a^2: \;6a^2-2a^2-5a^2 = -a^2,\)
\(\;a: \;2a+10a-12a=0,\)
\(\;константи: \;3-2-5+4=0.\)
Така получаваме нормалният многочлен: \[ 2a^3 - a^2. \]

15 Задача: Докажете, че при всяка стойност на променливата \(y\) изразът \[ A=2(2y+1)^2-(4y+3)^2+8y(y+2) \] приема една и съща числена стойност.

Решение: Пресмятаме поотделно:
\(2(2y+1)^2 = 2\big(4y^2+4y+1\big)= 8y^2+8y+2,\)
\((4y+3)^2 = 16y^2+24y+9,\)
\(8y(y+2)= 8y^2+16y.\)

Сега събираме: \[ A = (8y^2+8y+2) - (16y^2+24y+9) + (8y^2+16y). \] Групираме по степените на $y$:
\(y^2: \; 8y^2 - 16y^2 + 8y^2 = 0,\)
\(y: \; 8y - 24y + 16y = 0,\)
константи: \(2 - 9 = -7.\)
Следователно: \[ A = -7. \] Т.е. изразът е равен на константа, независимо от \(y\).

16 Задача: Да се намери стойността на израза \[ a(a+b)^2-b(a-b)^2+2b(a^2+b^2) \] при \(a=2,5\) и \(b=0,5\).

Решение: Разглеждаме израза:
\(a(a+b)^2 = a(a^2+2ab+b^2)= a^3+2a^2b+ab^2,\)
\(b(a-b)^2 = b(a^2-2ab+b^2)= a^2b-2ab^2+b^3,\)
следователно: \[ a(a+b)^2 - b(a-b)^2 = a^3+2a^2b+ab^2 - a^2b + 2ab^2 - b^3 = a^3+ (2a^2b-a^2b) + (ab^2+2ab^2)-b^3, \] което става: \[ a^3+ a^2b+ 3ab^2 - b^3. \] Добавяме \(2b(a^2+b^2)= 2ba^2+2b^3\) и получаваме: \[ E = a^3+ a^2b+ 3ab^2 - b^3 + 2a^2b+ 2b^3. \] Събираме съответните членове:
\(a^3\) остава,
\(a^2b: \; a^2b+2a^2b= 3a^2b,\)
\(ab^2: \; 3ab^2,\)
\(b^3: \; -b^3+2b^3= b^3.\)

Да изчислим стойността на израза: \[ E = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3, \] като заместим \(a = 2{,}5\) и \(b = 0{,}5\).

Най-напред намираме отделните степени и произведения:

• \(a^3 = (2{,}5)^3 = 2{,}5 \cdot 2{,}5 \cdot 2{,}5 = 15{,}625\)
• \(a^2 = 2{,}5 \cdot 2{,}5 = 6{,}25\)
• \(a^2b = 6{,}25 \cdot 0{,}5 = 3{,}125\)
• \(3a^2b = 3 \cdot 3{,}125 = 9{,}375\)
• \(ab = 2{,}5 \cdot 0{,}5 = 1{,}25\)
• \(ab^2 = 2{,}5 \cdot (0{,}5)^2 = 2{,}5 \cdot 0{,}25 = 0{,}625\)
• \(3ab^2 = 3 \cdot 0{,}625 = 1{,}875\)
• \(b^3 = 0{,}5 \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}125\)

Сега събираме всичко: \[ E = 15{,}625 + 9{,}375 + 1{,}875 + 0{,}125 = 27. \]

Следователно: \[ $Е=27$. \]

Задачи за самостоятелна работа

1. Умножете едночлените:
а) $A=-4x^2y^3$ и $B=-3x^4y^2$;
б) $A=\frac{3}{4}ab^2c$ и $B=\frac{4}{3}a^2bc^3$;
в) $A=-\frac{1}{27}mn^2p^7$, $B=\frac{3}{2}m^5k^2p$ и $C=-\frac{1}{4}k^4p$.

2. Намерете степента и коефициента на едночлена:
а) $(1,5x^2y^3z^4)(4xyz^5)$;
б) $\left(\frac{7}{8}m^2k^3p^4\right)\left(\frac{1}{4}mkp^3\right)$;
в) $(1,5ax^2y^3z^6)(-2,5a^2xy^2z^3)$;
г) $\left(-\frac{1}{2}ak^4p^3m^2\right)\left(-\frac{1}{3}a^2bkp^2m^3\right)$.

3. Извършете степенуването на едночлените:
а) $(2x^2y^3z^4)^3$;
б) $\left(\frac{2}{3}ab^4c^5\right)^8$;
в) $(-bx^4y^5z^2)^{11}$;
г) $(-2n^2m^3p^5)^{2n}\quad (n\in\mathbb{N})$.

4. Ако $u=3abm^2x^3$, $v=-2a^2mxy$ и $w=a^3mxy$, то намерете $\frac{u\cdot v}{w}$.

5. Ако $A=(x^2-xy+2y^2)$ и $B=(2x-y)$, то намерете $A\cdot B$.

6. Да се докаже тъждеството \[ (a+b)(c+d)-(a+c)(b+d)-(a-d)(c-b)=0. \]

7. Намерете числената стойност на израза:
\[ U=(2mn)^3+3mn^2\cdot2mn-5mn(mn)^2+2mn^2(-3mn) \] за $m=-\frac{1}{2},\; n=\frac{1}{3}$.

8. Намерете стойността на израза $b(b-1)-b^2+2b$ при $b=-1$.

9. Намерете стойността на израза $2(3x-2)-x(7-x)$ при $x=-2^2$.

10. Да се запише с нормален многочлен изразът $(2y-1)(1-y)-(2-y^3)$.

11. Намерете стойността на израза \[ A=6(x+5)-2(x-3)(4x-5)+5x(7x-8)-(-6x)^2 \] за \[ x=\frac{27^{669}}{(-3)^{2008}}. \]

12. Представете изразите като многочлени в нормален вид:
а) $3a+2b-c+(a-3b)-(4a-2c)$;
б) $8-3x-(5-x^2+3x)-(2x+3)$;
в) $(4x^2+2xy+y^2)(2x-y)$.

13. Представете произведението $(2x+a)(x^4-5x^3+3x^2-1)$ с нормален многочлен. Намерете за коя стойност на параметъра $a$ коефициентът на члена от четвърта степен и свободният член са равни.

14. Ако $m$ е параметър, а $x$ е променлива, намерете стойността на $m$, за която многочленът \[ A=mx^2+3mx^2-2x^3+3x^2-5mx+3m-4 \] има коефициент на члена от втора степен равен на $9$.

15. Да се намери нормалният вид на израза:
а) $(y-3)(y-1)-(y+1)(y+3)$;
б) $3x-2y(x+1)+x(2y-3)$;
в) $3m(2m^2+m-1)-2m(m^3+m^2+2)-3$.

16. Нека е даден изразът \[ A=b(y^2-2)-(b+3y)(2y-1), \] където $b$ е параметър. Представете $A$ с нормален многочлен и намерете стойностите на $b$, за които многочленът:
а) е от първа степен;
б) има равни коефициенти пред $y^2$ и $y$;
в) при $y=1$ има стойност $0$.

Тест: Квадрат на двучлен

1. След степенуване на израза \((x + 4)^2\) се получава:

\(x^2 + 8x + 4\) \(x^2 + 16\) \(x^2 + 8x + 16\) \(x^2 - 8x + 16\)

2. След степенуване на израза $(4m^3 - 3t^2)^2$ се получава:

\(16m^6 + 24m^3t^2 + 9t^4\) \(16m^6 - 24m^3t^2 + 9t^4\) \(16m^6 - 9t^4\) \(16m^6 + 9t^4\)

3. Кое от следните тъждества е вярно?

Разкрийте скобите и приведете изразите до стандартен вид, за да проверите дали тъждейството е вярно.

\(2x(x - 3) + 3(x + 1)^2 = 2x^2 - 6x + 3x^2 + 6x + 3\) \(3x(x + 2) - 2(x - 1)^2 = 3x^2 + 6x - 2x^2 + 4x - 2\) \(x(x + 4) + 5(x - 2)^2 = x^2 + 4x + 5x^2 - 20x + 20\) \(4x(x - 1) - (x + 2)^2 = 4x^2 - 4x - x^2 - 4x + 2\)

4. При \(x = 2\), стойността на израза \((x + 1)^2 + (x - 3)^2 - (3x^2 + 2x + 1)(x - 2)\) е:

20 15 5 10

5. Кой е нормалният многочлен на израза \((2a + 3b)(4a^2 - ab + 5) + (3ab + 1)^2 - (2a - b)^2\)?

\(8a^3 + 6a^2b + 4ab + 15 + 9a^2b^2 + 6ab + 1 + 4a^2 - 4ab + b^2\) \(8a^3 + 6a^2b - 2ab + 15 + 9a^2b^2 + 6ab + 1 - 4a^2 + 4ab - b^2\) \(9a^2b^2 + 8a^3 + 10a^2b - 3ab^2 - 4a^2 + 10ab - b^2 + 10a + 15b + 1\) \(8a^3 + 10a^2b - 3ab^2 + 10a + 15b + 9a^2b^2 - 6ab + 1 - 4a^2 - 4ab - b^2\)

6. Опростете израза \(\frac{(x + 3)^2}{5} + \frac{(x - 1)^2}{2} - \frac{x}{4} \left( \frac{6x}{5} - 2 \right)\)

\(\frac{17x^2 + 2x + 23}{20}\) \(\frac{19x^2 + 2x + 23}{20}\) \(\frac{17x^2 - 2x + 23}{20}\) \(\frac{17x^2 + 2x + 21}{20}\)

7. Намерете липсващото събираемо: \((2x^2 - 3y^3)^2 = 4x^4 + ? + 9y^6\)

\(-6x^2y^3\) \(-12x^2y^3\) \(12x^2y^3\) \(-6x^4y^3\)

8. Като приложите формулата за квадрат на двучлен, пресметнете \(98^2\)

9600 9801 9409 9604

9. След опростяване на израза \((x + 3)^2 + (x + 1)^2 + x^2 - (x + 1)^2 - (x - 2)^2\) се получава:

\(x^2 + 6x + 5\) \(x^2 + 8x + 9\) \(x^2 + 10x + 5\) \(x^2 + 10x + 1\)

10. Опростете израза: \((3x + x + 1)^2 - (3x + 1)^2 - (y - 4)^2\)

\(7x^2 + 2x - y^2 + 8y - 16\) \(7x^2 + 4x - y^2 - 8y + 16\) \(x^2 + 2x + 1 - y^2 - 4y + 16\) \(4x^2 + 8x - y^2 + 8y - 16\)

11. Опростете израза: \((x + 4)^2 + (x + 1)^2 - \bigl(x^2 + 12\bigr)\)

\(2x^2 + 8x + 5\) \(3x^2 + 10x + 17\) \(x^2 + 10x + 5\) \(x^2 + 8x + 17\)

12. Намерете нормалния вид на израза: \((3a + 5)^2 + (2a - 1)(a + 4)\)

\(11a^2 + 37a + 21\) \(9a^2 + 10a + 25 - 8\) \(5a^2 + 16a + 6\) \(13a^2 + 25a + 21\)

13. Опростете израза: \((x - 3)^2 + (3x - 3)\)

\(x^2 - 5x + 7\) \(x^2 - 3x + 6\) \(2x^2 - 4x + 9\) \(x^2 - 2x + 8\)

14. Опростете израза: \((2x - 5)^2 + (x + 1)^2 - (x - 4)^2\)

\(4x^2 - 20x + 25 + x^2 + 2x + 1 - x^2 + 8x - 16\) \(4x^2 - 10x + 10\) \(6x^2 + 3x - 9\) \(5x^2 - 5x + 6\)

15. Намерете стойността на израза \((x + 2)^2 + 2(x - 1) - (x - 1)^2\), когато \(x = 1\)

6 9 10 12

Видео уроци

За да проверите знанията си върху темата "Едночлен, действия с едночлени" може да направите теста, който ще намерите в следния линк:

https://docs.google.com/forms/d/1z1cNj0UQN2onOU3cWPDA7mmWBTjGSni0dgjGIQxymMg/

За да проверите знанията си върху темата "Многочлени, действия с многочлени" може да направите теста, който ще намерите в следния линк:

https://docs.google.com/forms/d/1yDFkR7V1w3wdFPAjyRMEJEY00YXF76de1Yh289ThELE

Използвана литература:

1. Сборник за 7 клас, Пенка Рангелова, Константин Бекриев, Лилия Дилкина, Нина Иванова, изд. Коала Прес, Пловдив, 2020

2. Тест Математика 7 клас, Донка Гълъбова, Адриана Хаджийска, Анна Аначкова и др., изд. Веди, София, 2020

3. Сборник задачи по математика за 7 клас, Мария Лилкова, Пенка Нинова, Таня Стоева и др., изд. Просвета, София

4. Книга за ученика за 7 клас, Здравка Паскалева, Мая Алашка, Райна Алашка, изд. Архимед, София, 2018

5. Текуща подготовка по математика за националното външно оценяване в 7 клас, Боянка Савова, Мария Тодорова, Веселин Златилов, изд. Просвета, София, 2020

6. Нови пробни изпити за външно оценяване и кандидатстване след 7 клас, изд. Регалия 6, София, 2015

7. Тестове по математика, Любомир Любенов, Цеца Байчева, изд. DOMINO, 2017

8. Нови тематични и общи тестове по математика за 7 клас, Марина Рангелова, изд. Коала Прес, 2008

9. Учебно помагало за задължително избираема подготовка по математика за 7 клас, Иван Тонов, Таня Тонова, изд. Просвета, София, 2011

10. Тестове по математика за 7 клас, Лилия Дилкина, Константин Бекриев, изд. Коала Прес, Пловдив, 2014

11. Сборник контролни работи и тестове по математика 7 клас, Пенка Рангелова, изд. Коала Прес, Пловдив, 2009

12. Сп. Математика

13. Сп. Математика +