Моделиране с линейни уравнения 7 клас
Почти всичко от заобикалящият ни свят, може да се обясни на езика на математиката. Напредъка на науката и технологията би бил немислим, ако не се използва езика на математиката за описване на сложните процеси и явления и с това, тяхното по-дълбоко опознаване. Разбира се, за да можем да опишем неща като, движението на планетите; какво се случва около черните дупки; как еволюират звездите; как се развива популацията на определен животински вид; какви са структурите на кристалите и безброй други интересни въпроси трябва да сме навлезли доста по навътре в математическата наука. В настоящият урок ще разгледаме примери за това, какви примерни ситуации от живота можем да опишем и решим с дотук получените знания. Най-общо, ще класифицираме задачите в следните групи: моделиране на житейски ситуации чрез използване на линейни уравнения, задачи от движение, задачи от работа, задачи от смеси и сплави и задачи от капитал. След като направим математическият модел на съответната задачи, ние трябва да решим линейно уравнение (повече за решаването на линейни уравнения тук) и така да намерим търсеното неизвестно заложено в задачата.
I. Моделиране на житейски ситуации чрез използване на линейни уравнения
1 Задача Госпожа Иванова получила известна сума пари и с $\frac{3}{8}$ от нея купила нов кухненски робот, а с $\frac{3}{7}$ от останалата след това сума - нова рокля за себе си. Ако роклята струва 75 лв., то колко лева е струвал кухненският робот.
Решение: Нека г-жа Иванова е имала $x$ лв. От казаното в условието на задачата, кухненският робот струвал $\frac{3}{8}x$ лв., следователно останалата сума била $(x-\frac{3}{8}x)$. Тъй като с $\frac{3}{7}$ от останалата сума тя си купува нова рокля следва, че цената на роклята е $\frac{3}{7}(x-\frac{3}{8}x)$. Тъй като в условието на задачата ни е казано, че цената на роклята е $75$ лв. формираме уравнението $\frac{3}{7}(x-\frac{3}{8})=75.$ Решаваме даденото полученото уравнение:
$\frac{3}{7}(x-\frac{3}{8})=75\iff \frac{3}{7}x-\frac{9}{56}x=75\iff 24x-9x=75.56\iff 15x=4200$ и следователно $x=280.$ Така получихме, че г-жа Иванова е имала $280$ лв. Сега остава да намерим цената на кухненският робот, като заместим $x$ с $280$ и получаваме, че цената на кухненският робот $=\frac{3}{8}.280=105$ лв.
2 Задача Собственик на ресторант закупил за оборудването му $15$ маси и $54$ стола, за които платил общо $12 780$ лв. Намерете колко струва една маса и един стол поотделно, ако цените им се отнасят както $7:2.$
Решение: Нека означим с $x$ цената на една маса и с $y$ цената на един стол. От казаното в условието на задачата можем да запишем следното равенство $15x+54y=12780$, а също така и отношението $\frac{x}{y}=\frac{7}{2}.$ От основното свойство на пропорциите $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\iff a.d=b.c$ следва, че $2x=7y.$ От последното равенство изразяваме $x$ чрез $y$ или $y$ чрез $x$ т.е $x=\frac{7}{2}y$ или $y=\frac{2}{7}x.$ Избираме си едно от двете и го заместваме в равенството $15x+54y=12780.$ Кое от двете ще изберем, няма никакво значение, в единия случай ще получим равенството $15.\frac{7}{2}y+54y=12780$, а в другия $15x+54.\frac{2}{7}x=12780.$ Както забелязвате и в двете равенства неизвестното вече е само едно, т.е. получаваме линейно уравнение с едно неизвестно, което вече можем да решим. Така, ако решим първото ще намерим цената на един стол, а ако решим второто ще намерим цената на една маса. Нека решим например първото (може да решите което и да е от двете по избор, няма никакво значение):
$15.\frac{7}{2}y+54y=12780\iff 105y+108y=25560\iff 213y=25560$, следователно $y=\frac{25560}{213}=120.$ От тук получихме, че цената на един стол е $120$ лв. Така за цената на една маса получаваме $x=\frac{7}{2}.120=420$ лв.
3 Задача Семената на кедровите шишарки съдържат белтъчини, мазнини и скорбяла. Белтъчините са $3,4$ пъти по-малко от мазнините, а скорбялата е $\frac{3}{5}$ от количеството белтъчини. Намерете колко kg е количеството скорбяла в $12$ kg семена от кедър.
Решение: Нека означим с $x$ количеството мазнини, следователно белтъчините са $x:3,4$, а за скорбялата получаваме, че е $\frac{3}{5}(x:3,4).$ Сега трябва да решим уравнението $x+x:3,4+\frac{3}{5}(x:3,4)=12$. Записваме го във вида $x+\frac{x}{3,4}+\frac{3x}{5.3,4}=12.$ Общият знаменател е $5.3,4=17$, следователно $17x+5x+3x=204$, от където $x=8,16$ kg. Това е количеството мазнини, които се съдържат в $12$ kg семена от кедър. За да отговорим на въпроса, пресмятаме количеството скорбяла $=\frac{3}{5}.\frac{8,16}{3,4}=1,44$ kg.
4 Задача В един склад имало $5$ пъти повече книги, отколкото в друг. След като от първия продали $4000$ книги, а на втория доставили $7000$, във втория склад имало $2$ пъти по-малко книги, отколкото в първия. По колко книги е имало първоначално във всеки от двата склада?
Решение: Нека във втория склад е имало $x$ книги, следователно в първия склад е имало $5x$ книги. След като от първия продали $4000$ книги, значи в него останали $(5x-4000)$ книги. Във втория доставили $7000$ книги и така в него вече имало $(x+7000)$ книги. Казано ни е още в условието на задачата, че накрая във втория склад имало $2$ пъти по-малко книги, отколкото в първия склад. Това означава, че ако умножим количеството книги във втория склад по $2$ ще получим количеството книги в първия склад. Записваме и решаваме уравнението:
$5x-4000=2(x+7000)\iff 5x-4000=2x+14000\iff 3x=18000$, следователно $x=6000.$ Значи във втория склад първоначално е имало $6000$ книги, а в първия $30000.$
II. Задачи от движение
- $S$ - изминатият път
- $V$ - скоростта
- $t$ - времето
5 Задача Влак изминал $370$ km за $5$ h $30$ min. Първите $4$ часа влакът се движил с постоянна скорост, а след това намалил скоростта си с $10$ km/h. Да се намери скоростта, с която се е движил влакът през първите $4$ часа.
Решение: Нека да означим скоростта на влака през първите $4$ часа с $V_{1}=x$ km/h, времето с $t_{1}=4$ h, и изминатият път със $S_{1}$, а през последният час и половина скоростта с $V_{2}=(x-10)$ km/h (в условието на задачата се казва, че последният час и половина влакът намалил скоростта си с $10$ km/h), времето с $t_{2}$ и изминатият път със $S_{2}.$ Нека да синтезираме данните в следната таблица:
| Превозно средство | $V$ | $t$ | $S$ |
| Влак (1) | $V_{1}=x$ [km/h] | $t_{1}=4$ [h] | $S_{1}=4x$ [km] |
| Влак (2) | $V_{2}=(x-10)$ [km/h] | $t_{2}=1,5 $[h] | $S_{2}=1,5(x-10)$ [km] |
Тъй като в условието на задачата е дадено, че целият път $S$ е $370$ km можем да заключим, че $S_{1}+S_{2}=S=370$ km.
Формираме уравнението $4x+1,5(x-10)=370\iff 4x+1,5x-15=370\iff 5,5x=385$, и следователно $x=70$ km/h, което е и отговорът на задачата, защото с $x$ ние означихме скоростта на влака през първите $4$ h.
6 Задача От град $A$ за град $B$ тръгнал товарен влак. Час и половина след него от $A$ в същата посока тръгнал пътнически влак, който се движил с $6$ km/h по-бързо от товарния. След $15$ часа от тръгването си пътническият влак изпреварил товарния с $30$ km. Намерете скоростта на товарния влак.
Решение: Нека означим съответно скоростта, времето и пътя на товарният влак с $V_{1}, t_{1}$ и $S_{1}$, а на пътническият влак с $V_{2}, t_{2}$ и $S_{2}$. Нека скоростта на товарният влак е $V_{1}=x$ km/h, следователно от казаното в условието на задачата $V_{2}=(x+6)$ km/h. Тъй като пътническият влак тръгва $1$ час и $30$ минути по-късно от товарния и от факта, че след 15 часа той той е изпреварил товарният влак с $30$ km можем да кажем, че времето $t_{1}=16,5$ h., тогава $S_{1}=x.16,5$ и $S_{2}=15.(x+6).$ Сега остава само да вземем в предвид факта, че $S_{1}+30=S_{2}.$ Да систематизираме тези данни в следната таблица:
| Превозно средство | $V$ | $t$ | $S$ |
| Товарен влак | $V_{1}=x$ [km/h] | $t_{1}=16,5$ [h] | $S_{1}=16,5x$ [km] |
| Пътнически влак | $V_{2}=(x+6)$ [km/h] | $t_{2}=15 $[h] | $S_{2}=15(x+6)$ [km] |
Формираме уравнението $16,5x+30=15(x+6)\iff 16,5x+30=15x+90\iff 1,5x=60$, следователно $x=40.$ Тъй като с $x$ сме означили скоростта на товарният влак можем да кажем, че тя е $40$ km/h.
7 Задача Разстоянието между селищата $A$ и $B$ е $270$ km. От $A$ и $B$ едновременно един срещу друг тръгват лека кола и автобус и се срещат след $1$ h и $30$ min. Ако скоростта на леката кола е с $20$ km/h по-висока от тази на автобуса, намерете:
а) скоростите на двете превозни средства;
б) пътят изминат от всяко от тях до срещата.
Решение: Нека означим съответно скоростта, времето и пътя на леката кола с $V_{1}, t_{1}$ и $S_{1}$, а на автобуса с $V_{2}, t_{2}$ и $S_{2}$. От казаното в условието на задачата, че двете превозни средства тръгват едновременно и се срещат след $1$ h и $30$ min следва, че $t_1=t_2=1,5$ h. Нека означим скоростта на леката кола с $x$, т.е. $V_1=x$ km/h, следователно $V_2=(x-20)$ km/h, така $S_1=x.1,5$, а $S_2=(x-20)1,5.$ Лесно се съобразява, че $S=S_1+S_2=270$. Да запишем данните в таблицата:
| Превозно средство | $V$ | $t$ | $S$ |
| Лека кола | $V_{1}=x$ [km/h] | $t_{1}=1,5$ [h] | $S_{1}=1,5x$ [km] |
| Автобус | $V_{2}=(x-20)$ [km/h] | $t_{2}=1,5 $[h] | $S_{2}=1,5(x-20)$ [km] |
Формираме уравнението $1,5x+1,5(x-20)=270\iff 3x=300$, от където $x=100.$
а) От $x=100$, можем да кажем, че скоростта на леката кола е $100$ km/h, а на автобуса $80$ km/h.
б) $S_1=1,5.100=150$ km и $S_2=1,5(100-20)=1,5.80=120 km.$
III. Задачи от работа
При решаване на задачи от работата ще използваме формулата $A = P \cdot t$, където:
- $A$ - свършената работа
- $P$ - производителността за единица време
- $t$ - времето
8 Задача Един тракторист може да изоре една нива за 6 часа, а друг - за 12 часа. За колко часа двамата трактористи ще изорат цялата нива, ако работят заедно?
Решение:
Нека приемем цялата работа за 1. Производителностите са:
Първи тракторист: $P_1 = \frac{1}{6}$ нива/час
Втори тракторист: $P_2 = \frac{1}{12}$ нива/час
| Тракторист | Производителност | Време | Извършена работа |
|---|---|---|---|
| Първи | $\frac{1}{6}$ нива/час | $x$ часа | $\frac{1}{6}x$ |
| Втори | $\frac{1}{12}$ нива/час | $x$ часа | $\frac{1}{12}x$ |
Уравнението е: $\frac{1}{6}x + \frac{1}{12}x = 1$
$\frac{1}{4}x = 1$
$x = 4$ часа
Отговор: Двамата трактористи ще изорат нивата за 4 часа.
9 Задача Басейн се пълни от две тръби, всяка от които може да го напълни сама съответно за 12 часа и за 16 часа. За колко време ще се напълни басейнът, ако отначало работи 3 часа 36 минути само първата тръба, а след това бъде пусната и втората.
Решение:
Производителности:
Първа тръба: $P_1 = \frac{1}{12}$ басейн/час
Втора тръба: $P_2 = \frac{1}{16}$ басейн/час
Първата тръба работи 3 часа 36 минути ($3\frac{36}{60} = 3.6$ часа) сама:
$A_1 = \frac{1}{12} \times 3.6 = 0.3$ басейна
Оставащ обем: $1 - 0.3 = 0.7$ басейна
Обща производителност: $\frac{1}{12} + \frac{1}{16} = \frac{7}{48}$ басейна/час
Време за допълване: $0.7 \div \frac{7}{48} = 4.8$ часа (4 часа 48 минути)
Общо време: $3.6 + 4.8 = 8.4$ часа = 8 часа 24 минути
10 Задача Колко литра разтвор на спирт с концентрация 38% трябва да се добавят към 24 l разтвор на спирт с концентрация 68%, за да се получи спирт с концентрация 54%?
Решение:
Нека $x$ е търсеното количество.
| Разтвор | Обем (l) | Концентрация | Чист спирт (l) |
|---|---|---|---|
| Първи | $x$ | 38% | $0.38x$ |
| Втори | 24 | 68% | $16.32$ |
| Смес | $x+24$ | 54% | $0.54(x+24)$ |
Уравнение: $0.38x + 16.32 = 0.54(x + 24)$
$0.38x + 16.32 = 0.54x + 12.96$
$3.36 = 0.16x$
$x = \boxed{21}$ литра
11 Задача: Към 11 l разтвор на захар с концентрация 58% добавили 9 l разтвор на захар с друга концентрация. Намерете процентната концентрация на добавения разтвор, ако тази на получения е била 40%.
Решение: Нека означим процентната концентрация на втория разтвор с \(x\%=\frac{x}{100}\). Така получаваме уравнението:
\[11\cdot\frac{58}{100}+9\cdot\frac{x}{100}=20\cdot\frac{40}{100}\]Решението на което е \(x=18\) (Проверете!). Така получаваме, че процентната концентрация на добавеният разтвор е 18%.
Нека споменем, че за този тип задачи може да бъде направена и таблица:
| Разтвор | \(m\) - маса | \(p\) - процентна концентрация | Получен разтвор | Смес |
|---|---|---|---|---|
| I-разтвор | 11 [l] | 58 [%] | \(11\cdot\frac{58}{100}\) | 20 l с конц. 40% (I+II) |
| II-разтвор | 9 [l] | \(x\) [%] | \(9\cdot\frac{x}{100}\) |
Така получаваме и уравнението \(11\cdot\frac{58}{100}+9\cdot\frac{x}{100}=20\cdot\frac{40}{100}\) и съответно решението на задачата.
V Задачи от капитал
При решаване на задачи от капитал ще използваме следните означения:
- \(K_0\) - начален капитал
- \(p\%\) - лихвен процент
- \(L\) - лихва за определен период време
- \(K\) - нараснал капитал
Основни финансови формули:
\( L = \frac{p}{100} \cdot K_0 \)
\( K = K_0 + L \)
\( K = \left(1 + \frac{p}{100}\right) \cdot K_0 \)
12 Задача: Жоро внесъл в банка 5000 лв. при годишна лихва 2%. Колко лева ще има клиентът в сметката си след две години.
Решение: В дадената задача \(K_0=5000\) и \(p\%=2\%\), следователно получаваме:
\(K=5000+5000\cdot4\%=5000+5000\cdot\frac{4}{100}=5200\) лв.
Клиент внесъл в банка депозит с годишна лихва $3\%$ за $12$ месечен лихвен период. Ако в края на периода банката му изплатила $30900$ лв., то намерете колко е била депозираната от клиента сума.
Решение: В дадената задача $K_0=x$ лв., $K=30900$ лв. и $p\%=3\%$. Получаваме уравнението:
$30900=x+x \cdot 3\% \iff 30900=x+\frac{3}{100}x$, от където намираме, че $x=30000$ т.е. $K_0=30000$ лв.
Задачи за самостоятелна работа
1. В смес от спирт и вода спиртът е $4$ пъти по-малко от водата. Добавили още $20$ l вода и се получил $12\%$ разтвор на спирт. Колко литра вода е имало в началото?
2. За направата на кекс са необходими брашно, мляко и захар. Техните тегла се отнасят, както $5:1:3$. Ако общото тегло на сладкиша е $1$ kg $500$ g, то по колко грама брашно, мляко и захар са необходими за приготвянето му?
3. Двама велосипедисти тръгнали от две селища $A$ и $B$ едновременно един срещу друг. Първият се движел от $A$ към $B$ с $15$ km/h, а скоростта на втория била с $20\%$ по-висока от тази на първия. При срещата им се оказало, че единият от тях е изминал $4$ km повече от другия. За колко време първият е изминал разстоянието от $A$ до $B$?
4. Една бригада може да свърши сама една работа за $10$ дни, а друга - за $13\frac{1}{2}$ дни. В работата взели участие $\frac{1}{3}$ от състава на първата бригада и $75\%$ от състава на втората. За колко часа е била свършена работата, ако на ден работниците са работили по 8 часа?
5. Ученик наел велосипед за $1$ h $45$ min. На колко километра може да се отдалечи от изходното място, ако на отиване се движи със скорост $10$ km/h, а на връщане изминава всеки километър за $2$ min повече, отколкото на отиване?
6. Разполагаме с два вида разтвори на сярна киселина, в които съдържанието на сяра е съответно $50\%$ и $75\%$. Намерете в какво отношение трябва да се смесят двата разтвора, за да се получи нов, в който съдържанието на сяра да е $60\%$.
7. В два склада има ориз. Оризът във втория склад е $3$ пъти по-малко от оризът в първия. Ако от първия склад се пренесат $60$ t във втория, то количеството във втория склад ще е с $10$ t по-малко от това в първия. По колко тона ориз има първоначално в двата склада?
8. Водородът, който се съдържа във водата, представлява $12,5\%$ от съдържащия се в нея кислород. Колко килограма водород и колко килограма кислород се съдържат в $8,1$ kg вода?
9. В училищен павилион една мандарина струва $0,12$ лв., а един банан - $0,60$ лв. Тодор заплатил за няколко банана и мандарини $32,40$ лв. Колко банана и мандарини е закупил Тодор, ако броят на бананите е с $12\%$ по-малък от броя на мандарините?
10. В тото "5 от 35" били изтеглени последователно пет числа. Първото било $1,5$ пъти по-голямо от второто и $22\frac{1}{3}\%$ от сбора на третото и четвъртото, които се отнасяли както $7:6$. Петото било с $10\%$ по-малко от второто, а сборът на всички числа се оказал $99$. С кои числа е печелившият фиш? (Национална олимпиада по математика - областен кръг)
11. Майката на Борис купила $4$ кг чушки, $5$ кг домати и $3$ кг патладжани за $14,10$ лв. Бащата на Иван купил $8$ кг от същите чушки и $10$ кг от същите домати за $24$ лв. Като се знае, че $1$ кг чушки струва с $0,80$ лв повече от $1$ кг патладжани, то колко лева е цената на $1$ кг домати? (Национална олимпиада по математика)
12. Нашият клас има $28$ ученика. Решихме да си направим два купона - за Коледа и Ивановден. За Коледа символични домакини са момичетата, а за Ивановден момчетата. За Коледа всяко момиче даде по $10$ лв, а всяко момче по $5$ лв, а за Ивановден всяко момче по $10$ лв и всяко момиче по $5$ лв. Оказа се, че за Ивановден са събрани $30$ лв повече отколкото за Коледа. Колко момчета и момичета има в нашия клас.
13. В 8:00 часа сутринта от град A за град B тръгнала кола със скорост $60$ км/ч, а $40$ минути по-късно след нея тръгнал автобус със скорост $90$ км/ч. След като била изпреварена от автобуса, колата увеличила скоростта си с $25\%$. Когато автобусът пристигнал в B колата била на $25$ км от B.
а) разстоянието от A до B;
б) в колко часа колата е била на $5$ км от автобуса. (Национална олимпиада по математика)
14. На конкурсен изпит в едно училище се явили определен брой ученици. От тях $10\%$ получили слаба оценка. Броят на учениците, получили отлична оценка, представлява $\frac{1}{3}$ от броя на учениците, получили слаба оценка. Останалите ученици, явили се на изпит, са $520$.
а) Намерете колко ученици са се явили на конкурсен изпит.
б) В училището са приети само ученици, получили отлични и много добри оценки. Намерете в колко паралелки са разпределени приетите ученици, ако се знае, че броят на учениците, получили оценка среден, добър и много добър, е в отношение $6:4:3$, и броят на учениците в една паралелка е не по-голям от $30$ и не по-малък от $26$. (Национална олимпиада по математика)
15. Скоростта на течението на една река е $3$ km/h. В 8 ч. 45 мин. от пристанище A за пристанище B по течението на реката тръгнал сал, а $20$ мин. по-късно от B за A тръгнала лодка, която се движела със скорост $12$ km/h. При срещата им се оказало, че лодката е изминала три пъти по-голямо разстояние от сала.
а) Намерете разстоянието между двете пристанища и в колко часа лодката и сала са се срещнали.
б) Ако след срещата лодката пристигнала в А, направила почивка от $20$ мин. и отпътувала обратно за B, намерете в колко часа и на какво разстояние от B, тя е настигнала сала. (Национална олимпиада по математика)
16. Един ден отидох от вкъщи до стадиона с велосипед. На другия ден половината от този път изминах пеша, но разбрах, че скоростта ми е два пъти по-малка отколкото с велосипеда и взех такси. Останалата част от пътя се придвижих с него. Таксито се движи пет пъти по-бързо отколкото моят велосипед. През кой от двата дни стигам по-бързо от вкъщи до стадиона? (Национална олимпиада по математика)
17. Турист се движи със скорост $4$ km/h при изкачване, по хоризонтален път - с $5$ km/h и при спускане - с $6$ km/h. Той изминал маршрут с дължина $9$ km, включващ изкачване, хоризонтален път и спускане, след което се върнал обратно по същия маршрут общо за $3$ часа и $41$ минути. Колко е дължината на хоризонталния участък от този маршрут? (Национална олимпиада по математика)
18. На математически тест били предложени няколко задачи по алгебра и няколко по геометрия. Учениците получавали по $3$ точки за решена геометрична задача и по $2$ точки за решена алгебрична задача. Освен това за всяка нерешена алгебрична задача отнемали по $1$ точка. Таня решила $10$ задачи и събрала $14$ точки. Колко са били предложените алгебрични задачи на теста? (Национална олимпиада по математика)
19. Галерия продала две малки пластики, едната с $1000$ лв. по-скъпа от другата и картина, която е $5$ пъти по-скъпа от втората пластика. От тази продажба галерията получила $2000$ лв. комисионна. Каква е цената на продадените предмети на изкуството, ако комисионната е $10\%$ от цената им? (Национална олимпиада по математика)
20. Моторна лодка изминава общо $58$ km, като най-напред се движи $2$ часа в езеро, а след това $20$ минути по течението на река, която извира от езерото. Намерете скоростта на моторната лодка в спокойни води, ако скоростта на течението на реката е $2,5$ km/h. (Национална олимпиада по математика)
21. Яна трябва да прочете една книга от $200$ страници. Първия ден тя прочела $20\%$ от книгата, а втория ден прочела още $50\%$ от останалата част.
а) Колко страници е прочела Яна втория ден?
б) Какъв процент от книгата е прочела Яна за двата дни? (Национална олимпиада по математика)
22. В магазин за маратонки всеки чифт струва $88$ лв. Трима приятели минават покрай магазина и прочитат следния надпис: "Само днес удвоен портфейл за купувачите!" Те влезли в магазина и попитали продавачката какво означава това, а тя отговорила "Ако влезете с $60$ лв., за нас те са $120$ лв."
Приятелите пресметнали, че ако влизат в магазина един по един и всеки купува по един чифт маратонки, парите които имат ще им стигнат да купят точно три чифта.
Първият влиза с цялата сума, а всеки следващ - със сумата, останала след покупката на предходния. Колко лева са имали тримата преди влизането в магазина? (Национална олимпиада по математика)
23. В училищния павилион една мандарина струва $0,12$ лв., а един банан - $0,60$ лв. Тодор заплатил за няколко банана и мандарини $32,40$ лв.
а) Колко банана и мандарини е закупил Тодор, ако броят на бананите е с $12\%$ по-малък от броя на мандарините?
б) Може ли броят на закупените банани да е $40\%$ повече от броя на мандарините? (Национална олимпиада по математика)
24. Шофьор на автобус забелязал, че за $30$ min автобусът е изминал половината от маршрута и още $2$ km. Продължил да пътува със същата скорост и след $25$ min пристигнал на крайната спирка. Колко километра е изминал автобусът по този маршрут?
25. Произведението на две последователни естествени числа е с $19$ по-малко от квадрата на техния сбор. Кои са двете числа?
26. В една фирма могат да изпълнят дадена поръчка за $8$ дни с $3$ машини, които имат еднаква производителност. Първите три дни работили $2$ машини. Още колко такива машини трябва да заработят след третия ден, за да бъде изпълнена поръчката за $6$ дни?
27. Лека кола изминава разстоянието между два града $A$ и $B$ със средна скорост от $60$ km/h. Един ден, след като изминала $\frac{3}{5}$ от цялото разстояние, останало й да измине още $11$ km и $30\%$ от цялото разстояние. Да се намери разстоянието от $A$ до $B$ и времето, за което леката кола го изминава.
28. В два съда с вместимост по двадесет литра има оцет - в първия - $10$ литра $4\%$-ов разтвор, а във втория - $15$ литра $8\%$-ов разтвор.
а) Колко литра трябва да се прелеят от втория съд в първия, за да се получи в него $5\%$-ов разтвор на оцет?
б) Колко процента ще бъде оцетът в двата съда, ако се извърши следното: от първия съд се допълва втория, а след това от втория се допълва първия?
29. Два трактора могат да изорат заедно една нива за време, което е с $18$ часа по-малко от времето, необходимо на първия трактор да изоре сам нивата, и с $32$ часа по-малко от времето, за което вторият трактор може сам да я изоре. За колко часа може да изоре нивата самостоятелно всеки от двата трактора.