Моделиране с линейни уравнения 7 клас

Почти всичко от заобикалящият ни свят, може да се обясни на езика на математиката. Напредъка на науката и технологията би бил немислим, ако не се използва езика на математиката за описване на сложните процеси и явления и с това, тяхното по-дълбоко опознаване. Разбира се, за да можем да опишем неща като, движението на планетите; какво се случва около черните дупки; как еволюират звездите; как се развива популацията на определен животински вид; какви са структурите на кристалите и безброй други интересни въпроси трябва да сме навлезли доста по навътре в математическата наука. В настоящият урок ще разгледаме примери за това, какви примерни ситуации от живота можем да опишем и решим с дотук получените знания. Най-общо, ще класифицираме задачите в следните групи: моделиране на житейски ситуации чрез използване на линейни уравнения, задачи от движение, задачи от работа, задачи от смеси и сплави и задачи от капитал. След като направим математическият модел на съответната задачи, ние трябва да решим линейно уравнение (повече за решаването на линейни уравнения тук) и така да намерим търсеното неизвестно заложено в задачата.

I. Моделиране на житейски ситуации чрез използване на линейни уравнения

1 Задача Госпожа Иванова получила известна сума пари и с $\frac{3}{8}$ от нея купила нов кухненски робот, а с $\frac{3}{7}$ от останалата след това сума - нова рокля за себе си. Ако роклята струва 75 лв., то колко лева е струвал кухненският робот.

Решение: Нека г-жа Иванова е имала $x$ лв. От казаното в условието на задачата, кухненският робот струвал $\frac{3}{8}x$ лв., следователно останалата сума била $(x-\frac{3}{8}x)$. Тъй като с $\frac{3}{7}$ от останалата сума тя си купува нова рокля следва, че цената на роклята е $\frac{3}{7}(x-\frac{3}{8}x)$. Тъй като в условието на задачата ни е казано, че цената на роклята е $75$ лв. формираме уравнението $\frac{3}{7}(x-\frac{3}{8})=75.$ Решаваме даденото полученото уравнение:

$\frac{3}{7}(x-\frac{3}{8})=75\iff \frac{3}{7}x-\frac{9}{56}x=75\iff  24x-9x=75.56\iff 15x=4200$ и следователно $x=280.$ Така получихме, че г-жа Иванова е имала $280$ лв. Сега остава да намерим цената на кухненският робот, като заместим $x$ с $280$ и получаваме, че цената на кухненският робот $=\frac{3}{8}.280=105$ лв.

2 Задача Собственик на ресторант закупил за оборудването му $15$ маси и $54$ стола, за които платил общо $12 780$ лв. Намерете колко струва една маса и един стол поотделно, ако цените им се отнасят както $7:2.$

Решение: Нека означим с $x$ цената на една маса и с $y$ цената на един стол. От казаното в условието на задачата можем да запишем следното равенство $15x+54y=12780$, а също така и отношението $\frac{x}{y}=\frac{7}{2}.$ От основното свойство на пропорциите $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\iff a.d=b.c$ следва, че $2x=7y.$ От последното равенство изразяваме $x$ чрез $y$ или $y$ чрез $x$ т.е $x=\frac{7}{2}y$ или $y=\frac{2}{7}x.$ Избираме си едно от двете и го заместваме в равенството $15x+54y=12780.$ Кое от двете ще изберем, няма никакво значение, в единия случай ще получим равенството $15.\frac{7}{2}y+54y=12780$, а в другия $15x+54.\frac{2}{7}x=12780.$ Както забелязвате и в двете равенства неизвестното вече е само едно, т.е. получаваме линейно уравнение с едно неизвестно, което вече можем да решим. Така, ако решим първото ще намерим цената на един стол, а ако решим второто ще намерим цената на една маса. Нека решим например първото (може да решите което и да е от двете по избор, няма никакво значение):

$15.\frac{7}{2}y+54y=12780\iff 105y+108y=25560\iff 213y=25560$, следователно $y=\frac{25560}{213}=120.$ От тук получихме, че цената на един стол е $120$ лв. Така за цената на една маса получаваме $x=\frac{7}{2}.120=420$ лв.

3 Задача Семената на кедровите шишарки съдържат белтъчини, мазнини и скорбяла. Белтъчините са $3,4$ пъти по-малко от мазнините, а скорбялата е $\frac{3}{5}$ от количеството белтъчини. Намерете колко kg е количеството скорбяла в $12$ kg семена от кедър.

Решение: Нека означим с $x$ количеството мазнини, следователно белтъчините са $x:3,4$, а за скорбялата получаваме, че е $\frac{3}{5}(x:3,4).$ Сега трябва да решим уравнението $x+x:3,4+\frac{3}{5}(x:3,4)=12$. Записваме го във вида $x+\frac{x}{3,4}+\frac{3x}{5.3,4}=12.$ Общият знаменател е $5.3,4=17$, следователно $17x+5x+3x=204$, от където $x=8,16$ kg. Това е количеството мазнини, които се съдържат в $12$ kg семена от кедър. За да отговорим на въпроса, пресмятаме количеството скорбяла $=\frac{3}{5}.\frac{8,16}{3,4}=1,44$ kg.

4 Задача В един склад имало $5$ пъти повече книги, отколкото в друг. След като от първия продали $4000$ книги, а на втория доставили $7000$, във втория склад имало $2$ пъти по-малко книги, отколкото в първия. По колко книги е имало първоначално във всеки от двата склада?

Решение: Нека във втория склад е имало $x$ книги, следователно в първия склад е имало $5x$ книги. След като от първия продали $4000$ книги, значи в него останали $(5x-4000)$ книги. Във втория доставили $7000$ книги и така в него вече имало $(x+7000)$ книги. Казано ни е още в условието на задачата, че накрая във втория склад имало $2$ пъти по-малко книги, отколкото в първия склад. Това означава, че ако умножим количеството книги във втория склад по $2$ ще получим количеството книги в първия склад. Записваме и решаваме уравнението:

$5x-4000=2(x+7000)\iff 5x-4000=2x+14000\iff 3x=18000$, следователно $x=6000.$ Значи във втория склад първоначално е имало $6000$ книги, а в първия $30000.$ 

II. Задачи от движение

Нека припомним формулата $S=V.t$, където $S$ е изминатият път, $V$ е скоростта и $t$ е времето.

5 Задача Влак изминал $370$ km за $5$ h $30$ min. Първите $4$ часа влакът се движил с постоянна скорост, а след това намалил скоростта си с $10$ km/h. Да се намери скоростта, с която се е движил влакът през първите $4$ часа.

Решение: Нека да означим скоростта на влака през първите $4$ часа с $V_{1}=x$ km/h, времето с $t_{1}=4$ h, и изминатият път със $S_{1}$, а през последният час и половина скоростта с $V_{2}=(x-10)$ km/h (в условието на задачата се казва, че последният час и половина влакът намалил скоростта си с $10$ km/h), времето с $t_{2}$ и изминатият път със $S_{2}$.  Нека да синтезираме данните в следната таблица:

Превозно средство	$V$	$t$	$S$
Влак (1)	$V_{1}=x$ [km/h]	$t_{1}=4$ [h]	$S_{1}=4x$ [km]
Влак (2)	$V_{2}=(x-10)$ [km/h]	$t_{2}=1,5 $[h]	$S_{2}=1,5(x-10)$ [km]

Тъй като в условието на задачата е дадено, че целият път $S$ е $370$ km можем да заключим, че $S_{1}+S_{2}=S=370$ km.

Формираме уравнението $4x+1,5(x-10)=370\iff 4x+1,5x-15=370\iff 5,5x=385$, и следователно $x=70$ km/h, което е и отговорът на задачата, защото с $x$ ние означихме скоростта на влака през първите $4$ h.

6 Задача От град $A$ за град $B$ тръгнал товарен влак. Час и половина след него от $A$ в същата посока тръгнал пътнически влак, който се движил с $6$ km/h по-бързо от товарния. След $15$ часа от тръгването си пътническият влак изпреварил товарния с $30$ km. Намерете скоростта на товарния влак. 

Решение: Нека означим съответно скоростта, времето и пътя на товарният влак с $V_{1}, t_{1}$ и $S_{1}$, а на пътническият влак с $V_{2}, t_{2}$ и $S_{2}$. Нека скоростта на товарният влак е $V_{1}=x$ km/h, следователно от казаното в условието на задачата $V_{2}=(x+6)$ km/h. Тъй като пътническият влак тръгва $1$ час и $30$ минути по-късно от товарния и от факта, че след 15 часа той той е изпреварил товарният влак с $30$ km можем да кажем, че времето $t_{1}=16,5$ h., тогава $S_{1}=x.16,5$ и $S_{2}=15.(x+6).$ Сега остава само да вземем в предвид факта, че $S_{1}+30=S_{2}.$ Да систематизираме тези данни в следната таблица: 

Превозно средство	$V$	$t$	$S$
Товарен влак	$V_{1}=x$ [km/h]	$t_{1}=16,5$ [h]	$S_{1}=16,5x$ [km]
Пътнически влак	$V_{2}=(x+6)$ [km/h]	$t_{2}=15 $[h]	$S_{2}=15(x+6)$ [km]

Формираме уравнението $16,5x+30=15(x+6)\iff 16,5x+30=15x+90\iff 1,5x=60$, следователно $x=40.$ Тъй като с $x$ сме означили скоростта на товарният влак можем да кажем, че тя е $40$ km/h.

7 Задача Разстоянието между селищата $A$ и $B$ е $270$ km. От $A$ и $B$ едновременно един срещу друг тръгват лека кола и автобус и се срещат след $1$ h и $30$ min. Ако скоростта на леката кола е с $20$ km/h по-висока от тази на автобуса, намерете:

а) скоростите на двете превозни средства;

б) пътят изминат от всяко от тях до срещата.

Решение: Нека означим съответно скоростта, времето и пътя на леката кола с $V_{1}, t_{1}$ и $S_{1}$, а на автобуса с $V_{2}, t_{2}$ и $S_{2}$. От казаното в условието на задачата, че двете превозни средства тръгват едновременно и се срещат след $1$ h и $30$ min следва, че $t_1=t_2=1,5$ h. Нека означим скоростта на леката кола с $x$, т.е. $V_1=x$ km/h, следователно $V_2=(x-20)$ km/h, така $S_1=x.1,5$, а $S_2=(x-20)1,5.$ Лесно се съобразява, че $S=S_1+S_2=270$. Да запишем данните в таблицата:

Превозно средство	$V$	$t$	$S$
Лека кола	$V_{1}=x$ [km/h]	$t_{1}=1,5$ [h]	$S_{1}=1,5x$ [km]
Автобус	$V_{2}=(x-20)$ [km/h]	$t_{2}=1,5 $[h]	$S_{2}=1,5(x-20)$ [km]

Формираме уравнението $1,5x+1,5(x-20)=270\iff 3x=300$, от където $x=100$. 

а) От $x=100$, можем да кажем, че скоростта на леката кола е $100$ km/h, а на автобуса $80$ km/h.

б) $S_1=1,5.100=150$ km и $S_2=1,5(100-20)=1,5.80=120 km.$

III. Задачи от работа

При решаване на задачи от работата ще използваме формулата $A=P.t$, където $A$ е свършената работа, $P$ е производителността за единица време и $t$ е времето.

8 Задача Един тракторист може да изоре една нива за $6$ часа, а друг - за $12$ часа. За колко часа двамата трактористи ще изорат цялата нива, ако работят заедно?   

Решение: Нека приемем цялата свършена работа за $1$. Нека означим съответно производителността на първия трактор с $P_1$, а на вторият тракторист с $P_2$. От условието на задачата, още е казано, че първият може да изоре сам нивата за $6$ часа, следователно за един час той ще изоре $\frac{1}{6}$ от нивата, а вторият за един час ще изоре $\frac{1}{12}$ от нивата. Нека означим с $x$ времето в часове, което ще е нужно на двамата заедно да изорат нивата. Попълваме таблицата: 

Превозно средство	$P$	$t$	$A$
I-тракторист	$P_1=\frac{1}{6}$ [$1$ h]	$ t_1=x$ [h]	$A_1=\frac{1}{6}x$
II-тракторист	$P_2=\frac{1}{12}$ [$1$ h]	$t_2=x$ [h]	$A_2=\frac{1}{12}x$

Тъй като $A_1+A_2=A=1$ получаваме уравнението $\frac{1}{6}x+\frac{1}{12}x=1$. След решаването на което получаваме, че $x=4$ (Проверете!). Следователно, ако работят заедно двамата трактористи ще изорат нивата за $4$ h.

9 Задача Басейн се пълни от две тръби, всяка от които може да го напълни сама съответно за $12$ h и за $16$ h. За колко време ще се напълни басейнът, ако отначало работи $3$ h $36$ min само първата тръба, а след това бъде пусната и втората. 

Решение: Нека приемем целият пълен басейн за $1$. Да означим съответно производителността на първата тръба с $P_1$, а на втората тръба с $P_2$. От условието на задачата, още е казано, че първата тръба може да напълни сама басейна за $12$ часа, следователно за един час тя ще пълни $\frac{1}{12}$ от басейна, а втората тръба за един час ще напълни $\frac{1}{16}$ от басейна. Нека с $t_2=x$ да означим времето в което е пълнела втората тръба. Така, ако с $t_1$ означим времето в което е пълнила първата тръба получаваме, че $t_1=(x+3\frac{36}{60})$ (часовете представляват цялата час на смесеното число, а дробната час е минутите разделено на минутите които се съдържат в $1$ h, т.е. 60). Попълваме таблицата: 

Превозно средство	$P$	$t$	$A$
I-тръба	$P_1=\frac{1}{12}$ [$1$ h]	$ t_1=(x+3\frac{36}{60})$ [h]	$A_1=\frac{1}{12}(x+3\frac{36}{60})$
II-тръба	$P_2=\frac{1}{16}$ [$1$ h]	$t_2=x$ [h]	$A_2=\frac{1}{16}x$

Тъй като $A_1+A_2=A=1$ получаваме уравнението $\frac{1}{12}(x+3\frac{36}{60})+\frac{1}{16}x=1$. След решаването на което получаваме, че $x=4,8$ (Проверете!). Следователно $x=4$ h $\frac{8}{10}.60$ min, което е $4$ h $48$ min. Сега това време събираме с $3h$ $36$ min и получаваме $8$ h $24$ min. 

IV Задачи от смеси и сплави

10 Задача Колко литра разтвор на спирт с концентрация $38$% трябва да се добавят към $24$ l разтвор на спирт с концентрация $68$%, за да се получи спирт с концентрация $54$%?

Решение: Нека означим с $x$ l търсеното количество разтвор на спирт с концентрация $38$%. Следователно имаме уравнението $x.\frac{38}{100}+24.\frac{68}{100}=(x+24).\frac{54}{100}$, решението на което е $x=21$ (Проверете!). Така търсеното количество разтвор е $21$ l. 

11 Задача Към $11$ l разтвор на захар с концентрация $58$% добавили $9$ l разтвор на захар с друга концентрация. Намерете процентната концентрация на добавения разтвор, ако тази на получения е била $40$%. 

Решение: Нека означим процентната концентрация на втория разтвор с $x$%$=\frac{x}{100}.$ Така получаваме уравнението $11.\frac{58}{100}+9.\frac{x}{100}=20.\frac{40}{100}$, решението на което е $x=18$ (Проверете!). Така получаваме, че процентната концентрация на добавеният разтвор е $18$%. Нека споменем, че за този тип задачи може да бъде направена и таблица по аналогия на предходните два типа, например:

Разтвор	$m$ - маса	$p$ - процентна концентрация	Получен разтвор	Смес
I-разтвор	$11$ [l]	$p_1=58$ [%]	$11.\frac{58}{100}$	$20$ l с конц. $40$% (I+II)
II-разтвор	9 [l]	$p_2=x$ [%]	$9.\frac{x}{100}$

Така получаваме и уравнението $11.\frac{58}{100}+9.\frac{x}{100}=20.\frac{40}{100}$ и съответно решението на задачата.

V Задачи от капитал

При решаване на задачи от капитал ще използваме следните означения $K_0$ - начален капитал, $p$% - лихвен процент, $L$ - лихва, за определен период време и $K$ - нараснал капитал. Формулите които трябва да знаем за да решаваме успешно задачи от този тип са следните:

$L=p$%.$K_0$; $K=K_0+L$; $K=(100$%$+p$%$).K_0$.

12 Задача Жоро внесъл в банка $5000$ лв. при годишна лихва $2$%. Колко лева ще има клиентът в сметката си след две години.

Решение: В дадената задача $K_0=5000$ и $p$%$=2$%, следователно получаваме, че $K=5000+5000.4$%$=5000+5000.\frac{4}{100}=5200$ лв.

13 Задача Клиент внесъл в банка депозит с годишна лихва $3$% за $12$ месечен лихвен период. Ако в края на периода банката му изплатила $30900$ лв., то намерете колко е била депозираната от клиента сума.

Решение: В дадената задача $K_0=x$ лв., $K=30900$ лв. и $p$%$=3$%. Получаваме уравнението $30900=x+x.3$%$\iff$ $30900=x+\frac{3}{100}x$, от където намираме, че $x=30000$ т.е. $K_0=30000$ лв.

Задачи за самостоятелна работа

1. В смес от спирт и вода спиртът е $4$ пъти по-малко от водата. Добавили още $20$ l вода и се получил $12$% разтвор на спирт. Колко литра вода е имало в началото?

2. За направата на кекс са необходими брашно, мляко и захар. Техните тегла се отнасят, както $5:1:3$. Ако общото тегло на сладкиша е $1$ kg $500$ g, то по колко грама брашно, мляко и захар са необходими за приготвянето му?

3. Двама велосипедисти тръгнали от две селища $A$ и $B$ едновременно един срещу друг. Първият се движел от $A$ към $B$ с $15$ km/h, а скоростта на втория била с $20$% по-висока от тази на първия. При срещата им се оказало, че единият от тях е изминал $4$ km повече от другия. За колко време първият е изминал разстоянието от $A$ до $B$?

4. Една бригада може да свърши сама една работа за $10$ дни, а друга - за $13\frac{1}{2}$ дни. В работата взели участие $\frac{1}{3}$ от състава на първата бригада и $75$% от състава на втората. За колко часа е била свършена работата, ако на ден работниците са работили по 8 часа?

5. Ученик наел велосипед за $1$ h $45$ min. На колко километра може да се отдалечи от изходното място, ако на отиване се движи със скорост $10$ km/h, а на връщане изминава всеки километър за $2$ min повече, отколкото на отиване?

6. Разполагаме с два вида разтвори на сярна киселина, в които съдържанието на сяра е съответно $50$% и $75$%. Намерете в какво отношение трябва да се смесят двата разтвора, за да се получи нов, в който съдържанието на сяра да е $60$.

7. В два склада има ориз. Оризът във втория склад е $3$ пъти по-малко от оризът в първия. Ако от първия склад се пренесат $60$ t във втория, то количеството във втория склад ще е с $10$ t по-малко от това в първия. По колко тона ориз има първоначално в двата склада?

8. Водородът, който се съдържа във водата, представлява $12,5$% от съдържащия се в нея кислород. Колко килограма водород и колко килограма кислород се съдържат в $8,1$ kg вода?

9. В училищен павилион една мандарина струва $0,12$ лв., а един банан - $0,60$ лв. Тодор заплатил за няколко банана и мандарини $32,40$ лв. Колко банана и мандарини е закупил Тодор, ако броят на бананите е с $12$% по-малък от броят на мандарините?

10. В тото "5 от 35" били изтеглени последователно пет числа. Първото било $1,5$ пъти по-голямо от второто и $22\frac{1}{3}$ % от сбора на третото и четвъртото, които се отнасяли както $7:6$. Петото било с $10$% по-малко от второто, а сборът на всички числа се оказал $99$. С кои числа е печелившият фиш? (Национална олимпиада по математика - областен крък)

11. Майката на Борис купила $4$ кг чушки, $5$ кг домати и $3$ кг патладжани за $14,10$ лв. Бащата на Иван купил $8$ кг от същите чушки и $10$ кг от същите домати за $24$ лв. Като се знае, че $1$ кг чушки струва с $0,80$ лв повече от $1$ кг патладжани, то колко лева е цената на $1$ кг домати? (Национална олимпиада по математика)

12. Нашият клас има $28$ ученика. Решихме да си направим два купона - за Коледа и Ивановден. За Коледа символични домакини са момичетата, а за Ивановден момчетата. За Коледа всяко момиче даде по $10$ лв, а всяко момче по $5$ лв, а за Ивановден всяко момче по $10$ лв и всяко момиче по $5$ лв. Оказа се, че за Ивановден са събрани $30$ лв повече отколкото за Коледа. Колко момчета и момичета има в нашия клас.

13. В 8:00 часа сутринта от град A за град B тръгнала кола със скорост $60$ км/ч, а $40$ минути по-късно след нея тръгнал автобус със скорост $90$ км/ч. След като била изпреварена от автобуса, колата увеличила скоростта си с $25$%. Когато автобусът пристигнал в B колата била на $25$ км от B. Да се намери:

а) разстоянието от A до B;

б) в колко часа колата е била на $5$ км от автобуса. (Национална олимпиада по математика)

14. На конкурсен изпит в едно училище се явили определен брой ученици. От тях $10$% получили слаба оценка. Броят на учениците, получили отлична оценка, представлява $\frac{1}{3}$ от броя на учениците, получили слаба оценка. Останалите ученици, явили се на изпит, са $520$.

а) Намерете колко ученици са се явили на конкурсен изпит.

б) В училището са приети само ученици, получили отлични и много добри оценки. Намерете в колко паралелки са разпределени приетите ученици, ако се знае, че броят на учениците, получили оценка среден, добър и много добър, е в отношение $6:4:3$, и броят на учениците в една паралелка е не по-голям от $30$ и не по-малък от $26$.  (Национална олимпиада по математика)

15. Скоростта на течението на една река е $3$ km/h. В 8 ч. 45 мин. от пристанище A за пристанище B по течението на реката тръгнал сал, а $20$ мин. по-късно от B за A тръгнала лодка, която се движела със скорост $12$ km/h. При срещата им се оказало, че лодката е изминала три пъти по-голямо разстояние от сала.

а) Намерете разстоянието между двете пристанища и в колко часа лодката и сала са се срещнали.

б) Ако след срещата лодката пристигнала в А, направила почивка от $20$ мин. и отпътувала обратно за B, намерете в колко часа и на какво разстояние от B, тя е настигнала сала. (Национална олимпиада по математика)

16. Един ден отидох от вкъщи до стадиона с велосипед. На другия ден половината от този път изминах пеша, но разбрах, че скоростта ми е два пъти по-малка отколкото с велосипеда и взех такси. Останалата част от пътя се придвижих с него. Таксито се движи пет пъти по-бързо отколкото моят велосипед. През кой от двата дни стигам по-бързо от вкъщи до стадиона? (Национална олимпиада по математика) 

17. Турист се движи със скорост $4$ km/h при изкачване, по хоризонтален път - с $5$ km/h и при спускане - с $6$ km/h. Той изминал маршрут с дължина $9$ km, включващ изкачване, хоризонтален път и спускане, след което се върнал обратно по същия маршрут общо за $3$ часа и $41$ минути. Колко е дължината на хоризонталния участък от този маршрут? (Национална олимпиада по математика)

18. На математически тест били предложени няколко задачи по алгебра и няколко по геометрия. Учениците получавали по $3$ точки за решена геометрична задача и по $2$ точки за решена алгебрична задача. Освен това за всяка нерешена алгебрична задача отнемали по $1$ точка. Таня решила $10$ задачи и събрала $14$ точки. Колко са били предложените алгебрични задачи на теста? (Национална олимпиада по математика)

19. Галерия продала две малки пластики, едната с $1000$ лв. по-скъпа от другата и картина, която е $5$ пъти по-скъпа от втората пластика. От тази продажба галерията получила $2000$ лв. комисионна. Каква е цената на продадените предмети на изкуството, ако комисионната е $10$% от цената им? (Национална олимпиада по математика)

20. Моторна лодка изминава общо $58$ km, като най-напред се движи $2$ часа в езеро, а след това $20$ минути по течението на река, която извира от езерото. Намерете скоростта на моторната лодка в спокойни води, ако скоростта на течението на реката е $2,5$ km/h. (Национална олимпиада по математика) 

21. Яна трябва да прочете една книга от $200$ страници. Първия ден тя прочела $20$% от книгата, а втория ден прочела още $50$% от останалата част. 

а) Колко страници е прочела Яна втория ден?

б) Какъв процент от книгата е прочела Яна за двата дни? (Национална олимпиада по математика) 

22. В магазин за маратонки всеки чифт струва $88$ лв. Трима приятели минават покрай магазина и прочитат следния надпис: "Само днес удвоен портфейл за купувачите!" Те влезли в магазина и попитали продавачката какво означава това, а тя отговорила "Ако влезете с $60$ лв., за нас те са $120$ лв."

Приятелите пресметнали, че ако влизат в магазина един по един и всеки купува по един чифт маратонки, парите които имат ще им стигнат да купят точно три чифта.

Първият влиза с цялата сума, а всеки следващ - със сумата, останала след покупката на предходния. Колко лева са имали тримата преди влизането в магазина? (Национална олимпиада по математика) 

23. В училищния павилион една мандарина струва $0,12$ лв., а един банан - $0,60$ лв. Тодор заплатил за няколко банана и мандарини $32,40$ лв. 

а) Колко банана и мандарини е закупил Тодор, ако броят на бананите е с $12$% по-малък от броя на мандарините?

б) Може ли броят на закупените банани да е $40$% повече от броя на мандарините? (Национална олимпиада по математика) 

24. Шофьор на автобус забелязал, че за $30$ min автобусът е изминал половината от маршрута и още $2$ km. Продължил да пътува със същата скорост и след $25$ min пристигнал на крайната спирка. Колко километра е изминал автобусът по този маршрут?

25. Произведението на две последователни естествени числа е с $19$ по-малко от квадрата на техния сбор. Кои са двете числа?

26. В една фирма могат да изпълнят дадена поръчка за $8$ дни с $3$ машини, които имат еднаква производителност. Първите три дни работили $2$ машини. Още колко такива машини трябва да заработят след третия ден, за да бъде изпълнена поръчката за $6$ дни?

27. Лека кола изминава разстоянието между два града $A$ и $B$ със средна скорост от $60$ $km/h$. Един ден, след като изминала $\frac{3}{5}$ от цялото разстояние, останало й да измине още $11$ $km$ и $30$% от цялото разстояние. Да се намери разстоянието от $A$ до $B$ и времето, за което леката кола го изминава.

28. В два съда с вместимост по двадесет литра има оцет - в първия - $10$ литра $4$%-ов разтвор, а във втория - $15$ литра $8$%-ов разтвор.

а) Колко литра трябва да се прелеят от втория съд в първия, за да се получи в него $5$%-ов разтвор на оцет?

б) Колко процента ще бъде оцетът в двата съда, ако се извърши следното: от първия съд се допълва втория, а след това от втория се допълва първия?

29. Два трактора могат да изорат заедно една нива за време, което е с $18$ часа по-малко от времето, необходимо на първия трактор да изоре сам нивата, и с $32$ часа по-малко от времето, за което вторият трактор може сам да я изоре. За колко часа може да изоре нивата самостоятелно всеки от двата трактора.

30. Велосипедистите Ян, Оги и Ради тренирали на кръгла писта. Те стартирали едновременно от една и съща точка и финиширали в същата точка. 
По вреве на състезанието Ян $8$ пъти застигнал Ради, а Оги $2$ пъти застигнал Ради.

Ако средната скорост на Ян била $30$ $km/h$, а средната скорост на Оги $20$ $km/h$, с каква скорост се е движил Ради?

 

31. Мистър скрудж вложил капитал в три фонда. Във фонд $A$ внесъл $2$ пъти повече пари, отколкото във фонд $B$ и с $20000$ лева повече, отколкото във фонд $C$. След година се оказало, че печалбата от фонд $A$ е $2$%, от фонд $B$ е $1$%, а от фонд $C$ $3$%. Ако вложеният капитал за тази година е нарастнал на $490000$ лв., намерете по колко лева е вложил мистър Скрудж във всеки фонд.

Още решени и подробно обяснени задачи свързани с моделиране с линейни уравнения на житейски ситуации и събития може да намерите в това видео:

Още решени и подробно обяснени задачи от движение може да намерите във видеото ми по-долу:

Още решени и подробно обяснени задачи от работа може да намерите във видеото ми по-долу:

Още решени и подробно обяснени задачи от капитал и финанси може да намерите във видеото ми по-долу:

Използвана литература:

1. Сборник за 7 клас, Пенка Рангелова, Константин Бекриев, Лилия Дилкина, Нина Иванова изд. Коала Прес, Пловдив, 2020

2. Тест Математика 7 клас, Донка Гълъбова, Адриана Хаджийска, Анна Аначкова и др., изд. Веди, София, 2020 

3. Сборник задачи по математика за 7 клас, Мария Лилкова, Пенка Нинова, Таня Стоева и др., изд. Просвета, София

4. Книга за ученика за 7 клас, Здравка Паскалева, Мая Алашка, Райна Алашка, изд. Архимед, София, 2018

5. Текуща подготовка по математика за наицоналното външно оценяване в 7 клас, Боянка Савова, Мария Тодорова, Веселин Златилов, изд. Просвета, София, 2020

6. Нови пробни изпити за външно оценяване и кандидатстване след 7 клас, изд. Регалия 6, София 2015 

7. Тестове по математика, Любомир Любенов, Цеца Байчева, изд. DOMINO, 2017

8. Нови тематични и общи тестове по математика за 7 клас, Марина Рангелова, изд. Коала Прес, 2008

9. Учебно помагало за задължително избираема подготовка по математика за 7 клас, Иван Тонов, Таня Тонова, изд. Просвета, София, 2011

10. Тестове по математика за 7 клас, Лилия Дилкина, Константин Бекриев, изд. Коала Прес, Пловдив, 2014

11. Сборник контролни работи и тестове по математика 7 клас, Пенка Рангелова, изд. Коала Прес, Пловдив, 2009

12. Сп. Математика

13. Сп. Математика +